Sur le principe du maximum stochastique de type champ moyen

Abstract

Notreobjectifdanscetravailestd étudierleprincipedumaximumstochastiquede typechampmoyen,ons intéresseauprincipedemaximumdesconditionsnécessairesainsi quelesconditionssu¢santesd optimalités,cetteméthodebaséesurlaminimisationdela fonctiondecoûtsurunensembledescontrôles. Leplandecetravailsecomposede3chapitres: oChapitre1.Rappelsdeprocessusstochastique Danscechapitre,onvaprésenterlesdé nitionsetlespropriétésdesprocessusconti- nuesquisontdestinésàfournirdesoutilsdebase(processusstochastique,martingale, quelquesinégalités,mouvementbrownien,calculd Itô,...etc.)quenousauronsbesoindans lasuitedecetravail. oChapitre2.Equationsdi¤érentiellesstochastiques Danscechapitre,onvaprésenterlathéoriegénéraleetlanotationdeséquations di¤érentiellesstochastiques,aprésçaonvaprouverlethéorèmed existenceetd unicitéde solutionpourleséquationsdi¤érentiellesstochastiques. oChapitre3.Principedumaximumstochastiquedetypechamp moyen Danscechapitre,onvaétudierleprincipedumaximumstochastiquedetypechamp moyenc-à-donvadonnerlescaractérisationsnécessairesetsu¢santesducontrôleopti- male.Unproblèmedecontrôleconsisteàminimiserunefonctiondecoûtdonnéepar: J (u) = E Z T 0 h (t; xt;E'(xt); ut) dt + g (xT ;E (xT ))

; où xt estunesolutiondel équationdi¤érentiellestochastiquesuivante: 8>< >: dxt = b (t; xt;E (xt) ; ut)dt + (t; xt;E (xt); ut) dBt; x(0)= x0: Laméthodededémonstrationquiestsuiviedanscetteétudeestbaséesurleprincipe d optimisationconvexe.