Les équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades avec retard

Abstract

Les équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs en abrégé) soient apparues pour le première fois en 1973 dans un travail de Bismut, la théorie associée doit son développement à E.Pardoux et S.Peng [5] qui ont établi le premier résultat d existence et d unicité dans le cas non-linéaire. Ceci est essentiellement du aux nombreuses applications qu elles ont pu apporter dans divers domaines de mathématiques tels que les EDP et l homogénéisation, les mathématiques nancières, le contrôle optimal, les jeux di¤érentiels et la géométrie di¤érentielle, . . . etc. Pour commencer, on donne une brève présentation des notions clés : Comme indique leur nom, les EDSRs sont des équations di¤érentielles stochastiques avec une donnée terminale. Dans le début des années 90, E.Pardoux et S.Peng sont les premiers à considérer des équations non-linéaires : 8 >< >: dYt = 􀀀f (t; Yt;Zt) dt + ZtdWt; 0 t < T; YT = ; où est la valeur terminale et f est le générateur ou encore le coe¢ cient de l EDSR qui est une fonction nonlinéaire et globalement lipschitizienne par rapport aux variables (Y;Z). La solution est un couple de processus (Y;Z). En e¤et comme la condition aux limites est donnée à l instant terminal T, la présence du processus Z assure à Y d être adapté par rapport à la ltration du mouvement brownien (Wt)t T via le théorème de représentation des martingales. Les premières études sur les EDSRs avaient pour but de déterminer les conditions que doivent satisfait f et , sous lesquelles on a l existence et l unicité de la solution. Pardoux et Peng ont montré l existence et l unicité de la solution lorsque est de carré intégrable et f est Lipschitzienne par rapport à (y; z). Leur outil principal était d une part le théorème de représentation des martingales et d autre part par la méthode du point xe. Dans ce mémoire, on s intéresse aussi à la généralisation de ces EDSRs au cas où le générateur f à l instant s dépend du passé de la solution plus précisément, pour une constante positive l EDSR nommé une EDSR avec retard (EDSRR) Yt = + R T t f 􀀀 s; Ys; Ys􀀀 ;Zs;Zs􀀀

ds 􀀀 R T t ZsdWs; t 2 [0; T] : Ce type d équation a été étudié par Delong et Imkeller [1], Ce memoire est consacré à l étude des EDSRR dans un environnement brownien. Après ce bref historique sur les EDSRs, nous présentons le statut de ce mémoire qui se décompose de trois chapitres. Nous commencerons par un chapitre introductif dans lequel on va présenter une foule de dé nitions, propositions et théorèmes faits sans démonstrations car comme on a dit ce chapitre a pour nalité de mettre le lecteur dans le cadre théorique de notre étude ultérieure pour les EDSRs avec retard. Dans le deuxième chapitre, on abordera les EDSRs standards par la présentation du théorème de Pardoux et Peng. Finalement, le dernier chapitre sur les EDSRs avec retard, ce type qui généralise le modèle classique de EDSRs étudie par Pardoux et Pend [5], s est révélée utile dans diverses applications, à savoir en nance et en contrôle stochatique, L objectif de cette section est de donner le théorème d existence et d unicité des équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades avec retard (EDSRRs).