Equations di¤érentielles stochastiques rétrogrades : existence et unicité

Abstract

Dans ce mémoire, nous nous intéressons à l étude d une classe particulière d équations di¤érentielles stochastiques dont la solution est donnée en temps terminal T . Ce type d équations est appelé équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades (EDSRs). Les EDSRs ont apparu pour la première fois en (1973) dans un article de Bismut [1] dans le cas où le générateur est linéaire. Cependant le point de départ de la théorie des EDSRs est l article de Pardoux et Peng [8] dans lequel le générateur est non linéaire. Rappelons ici brièvement dans quel contexte la notion d EDSR a été introduite. On se place sur un espace probabilisé ( ;F; P) muni d un mouvement Brownien B (d-dimensionnel) dont la ltration naturelle et augmentée est notée FB=(Ft)t 0. Une EDSR à horizon déterministe T est dé nie par une équation dont la forme générique est la suivante 8 >< >: 􀀀dYt = f (t; Yt;Zt) dt 􀀀 ZtdBt; YT = ; dont les paramètres sont la condition terminale YT = et la fonction f qui est le générateur. Depuis le premier résultat d existence et unicité, la théorie des EDSRs s est considérable- ment développée en raison du lien existant avec les équations aux dérivées partielles (EDPs) et des applications possibles aux problèmes de contrôles stochastiques et aux problèmes de mathématiques nancières : un grand nombre de travaux ont été consacrés pour étudier ces applications et élargir la classe d EDSR admettant des solutions. L objectif de ce mémoire est l étude des résultats d existence et l unicité des solutions des EDSRs dans le cadre classique dont le générateur est lipschitzien en y et z et d évoquer le lien entre les EDSRs et les EDPs. Ce travail est composé de trois chapitres : Le premier chapitre est consacré à la théorie du calcul stochastique, en donnant les dé - nitions et les propriétés des processus continues ainsi que leurs résultats principaux (processus stochastiques, mouvement Brownien, martingales) qui nous permettre de dé nir l intégrale stochastique et puis l existence et l unicité de la solution d une équation di¤érentielle sto- chastique (EDS). Dans le deuxième chapitre, nous allons montrer l existence et l unicité de la solution d une EDSR dans le cas linéaire puis dans le cas général et énoncer le théorème de compa- raison. Dans le troisième chapitre nous travaillons dans un cadre spéci que des EDSRs marko- viennes pour établir le lien entre les EDSRs et les EDPs.