Martingale en temps continu

Abstract

C Une martingale est une technique permettant d augmenter les chances de gain aux jeux de hasard tout en respectant les règles de jeu, c est-à-dire d un jeu où le gain que l on peut espérer faire en tout temps ultérieur est égal à la somme gagnée au moment présent. C La théorie des martingales a eu de grandes répercussions dans de nombreux champs d ap- plication, en probabilité bien sûr, mais aussi pour la résolution numérique des équations aux dérivées partielles, en assurance (théorie de la ruine) et en nance. C En probabilités, on appelle donc martingale un processus stochastique fMsg tel que l es- pérance conditionnelle E(Mt j Fs) est égale à Ms pour tout t s. Les martingales, ainsi que leurs variantes les sous-martingales et les surmartingales, jouissent de nom- breuses propriétés qui les rendent très utiles dans l étude de processus stochastiques plus généraux. Les exemples-types de martingales à temps continu sont le mouvement Brownien, le processus de Poisson. C Ce travail est contenu de deux chapitres : Dans le premier chapitre, nous présentons une introduction aux processus stochas- tique, par une étude succincte de quelques familles importantes : processus à ac- croissements indépendants stationnaires, mouvement Brownien. Dans le deuxième chapitre, on introduit la notion de la martingale en temps continue, nous étudions les propriétés de la matingale en temps continu qui dépendent au mouvement Brownien et temps d arrêt. On généralise au cadre continu plusieurs inégalités. Avant de donner des théorèmes de convergence pour les martingales en temps continu.