Équations différentielles stochastiques rétrogrades localement Lipschitziennes

Abstract

Dans ce modeste travail, nous avons essayé d exposer deux résultats d existence et d unicité de la solution d une EDSR. Le premier résultat est fondamental établi par E. Pardoux et S. Peng en 1990 qui étudier le cas où le générateur f est globalement Lipschitzien avec une condition terminale , FT - mesurable et de carré intégrable. La preuve de ce résultat est basée sur le théorème de représentation des martingales Browniennes et un argument de point xe. Le deuxième résultat, traite le problème de l existence et l unicité des solutions pour l EDSR dont le générateur f est localement Lipschitzien et la condition terminale est borné. Ce résultat a été établi par S. Hamadène en 1996 dans le cadre d a¤aiblir la condition Lipschitzienne, l idée de la preuve est d approximer f par une suite double ('n;m; n;m 0) d applications Lipschitziennes où le couple ('n;m; ) possède le résultat de Pardoux-Peng, par conséquent il existe un couple de processus (Y n;m ;Zn;m ) de limite est (Y ;Z ) qui est la solution de l équation associée à (f; ) : Ce dernier résultat peut être s étendue dans le cas où le générateur f n est pas loca- lement Lipschitzien . Plus précisément, si f est seulement continue en (y; z), de la même manière que la preuve du théorème d existence (3:3:1) on montre que l équation associée à (f; ) admet une solution (non unique en général)