Intoduction aux processus gaussiens

Abstract

La classe des processus gaussiens est l une des familles de processus stochastiques la plus utilisées pour la modélisation des données dépendantes, observées dans le temps ou l espace (ou le temps et l espace). La popularité de tel processus découle principalement de ces propriétés. Dans la théorie des probabilités et les statistiques, un processus gaussien est un processus stochastique (un ensemble de variables aléatoires indexées par le temps ou l espace), de sorte que chaque ensemble ni de ces variables aléatoires a une distribution normale mul- tivariée, c est-à-dire que chaque combinaison linéaire nie est normalement distribué. La distribution d un processus gaussien est la distribution conjointe de toutes ces variables aléatoires (in niment nombreuses). Le concept de processus gaussien est nommé d après Carl Friedrich Gauss car il est basé sur la notion de distribution gaussienne (distribution normale). Les processus gaussiens peuvent être considérés comme une généralisation à l in ni des distributions de variables normales multivariées. Les processus gaussiens sont utiles en modélisation statistique, tirant parti des propriétés héritées de la distribution normale. Par exemple, si un processus aléatoire est modélisé comme un processus gaussien, les distributions de di¤érentes quantités dérivées peuvent être obtenues explicitement. L objective de ce mémoire est donner une présentation des vecteurs et processus gaussiens ainsi que leurs propriétés principale et d utilisée le logiciel statistique R pour définir la notion des trajectoires de ce processus. Ce mémoire est divisé en deux chapitres Le premier chapitre est une présentation rapide des variables et vecteurs gaussiens. Dans ce chapitre, On rappelle les principaux résultats sur les variables aléatoires gaus- siennes et sur les vecteurs aléatoires gaussiens. Ces rappels seront utiles pour généraliser le cadre gaussien aux processus au deuxième chapitre et présenter la notion de processus gaussien. Le deuxième chapitre permet d introduit les notions importantes et les résultats sur les processus gaussiens. Dans ce chapitre, On commence par la présentation des notions générales de processus stochastique. On décrit d abord les lois des processus, leurs propriétés, les trajectoires des processus.En suite, on présente la classe des processus gaussiens. En n, on donne un exemple de processus gaussien (mouvement brownien). Nous assumerons dans notre travail que le lecteur a une connaissance des concepts de base en probabilité. Nous rappelons certains de ces concepts qui nous seront utiles pour présenter l objet de ce mémoire. Le mathématicien allemand, Carl Friedrich Gauss