Statistiques robustes

Abstract

En statistique, la robustesse d un estimateur est sa capacité à ne pas être modi é par une petite perturbation des données où par des paramètres du modèle à esti- mer. La robustesse est donc un terme qui désigne une constitution résistance et solide. La robustesse implique une insensibilité aux écarts dus à une non-conformité aux hypothèses sous-jacentes à un modèle probabiliste. Le plus souvent, on veut obtenir des méthodes dont les hypothèses d application ne soient pas trop restrictives. Les méthodes classiques d analyse statistique nécessitent très souvent une distribution gaussienne des données. Les méthodes robustes garantiront que le résultat est bon pour une très grande collec- tion de distributions sans pour autant être les meilleures pour une en particulier. L analyse de variance classique, par exemple, nécessite que les résidus suivent une loi gaussienne avec un même écart-type pour chacun des groupes étudiés ; ce n est pas une méthode robuste. Un problème courant en statistique est d essayer d expliquer comment une variable d intérêt Y est reliée à une variable explicative X: La régression est l outil principal pour ré- pondre à cette question. Cependant, cette estimation vu comme la moyenne conditionnelle de Y sachant X peut être inadaptée dans certaines situations. Par exemple, la présence de données aberrantes peut amener à des résultats non pertinents. La régression robuste a été introduite pour résoudre ce genre de problèmes. Le terme "robuste" a été introduit par Box (1953), mais c est Tukey (1960) qui a été le premier à reconnaître l extrême sensibilité de certaines procédures statistiques classiques aux écarts mineurs par rapport aux hypothèses. Sa prise de conscience que les méthodes statistiques optimisées pour le modèle gaussien classique sont instables sous de petites perturbations était cruciale pour les développements théoriques ultérieurs lancés par Huber (1964) et Hampel (1968). En plus d une introduction et d une conclusion, ce mémoire est composé de deux chapitres. Les di¤érentes notations et abréviations sont rassemblées, en annexe, avec leurs signi cations. Chapitre 1. Estimation robuste : Ce chapitre est consacré à la dé nition d un esti- mateur robuste et à la présentation quelques types d estimateurs robustes parmi les plus populaires. Chapitre 2. Régression linéaire et robustesse : Dans ce chapitre, on commence par un rappel sur la régression linéaire classique, puis on étudie la régression linéaire robuste. Les deux cas de régression (simple et multiple) sont considérées. En n, il est utile de noter que les calculs numériques et les représentations graphiques, des exemples d application traités dans le dernier chapitre, sont réalisés à l aide du package ade4 du logiciel d analyse statistique R [10].