Analyse de sensitivit e des techniques de validation crois ee pour le choix du param etre de lissage.

Abstract

En g en eral, dans les statistiques de toute evidence la densit e f g en ere l' echantillon, mais la question qui se pose lorsque etant donn ees un echantillon est-ce-que nous pouvons approximativement recr ees leur fonction de densit e ? A n d'estimer la densit e inconnue f, une premi ere approche dite param etrique consiste a supposer que f appartient a une famille de densit es continues ou discr etes qui peuvent ^etre d ecrites par un certain nombre de param etres r eels. Le statisticien qui opte pour une telle approche poss ede une bonne connaissance a priori du ph enom ene al eatoire. Ces mod eles param etriques peuvent ^etre modi es, lorsque les donn ees pr esentent des ph enom enes sp eci ques. Cependant, lorsqu'aucune information n'est disponible sur le ph enom ene etudi e ou le param etre est de dimension in ni, l'application d'un mod ele param etrique n'est pas satisfaisant. Pour pallier les insu sances et les d efauts des familles param etriques, une seconde approche dite non-param etrique consiste, a estimer, a partir des observations, une fonction inconnue sans sp eci er de forme sur cette fonction a estimer. Un petit survole de la litt erature nous permet de rendre compte que de nombreuses approches non param etrique ont et e propos e pour l'estimation d'une densit e de probabilit e mais ca reste la technique qui a rencontr e le plus de succ es est bien la m ethode du noyau vue la simplicit e de sa forme, ses modes de convergence multiples et sa exibilit e. Cependant, la mise en uvre de cette technique n ecessite le choix d'un noyau K et d'un param etre de lissage h. Le choix du noyau K dans le cas de densit es r eelles a supports non born es est tr es peu in uent et les crit eres du choix sont alors la simplicit e et la vitesse de calcul. Les noyaux employ es ici sont sym etriques (dit aussi classiques). Cependant, lorsqu'on veut estimer des densit es a support born e au moins d'un seul c^ot e, l'estimateur a noyau classique devient non consistant, a cause des e ets du bord. Ce probl eme est d^u a l'utilisation d'un noyau sym etrique qui assigne un poids en dehors du support lorsque le lissage est pris en compte pr es du bord. Plusieurs solutions ont et e propos ees dans la litt erature pour rem edier a cette di cult e. La solution la plus simple est de remplacer le noyau sym etrique par un noyau asym etrique, qui n'assigne pas un poids en dehors du support de la densit e que l'on veut estimer. Autrement dit, le choix doit ^etre adapt e selon le support de la fonction inconnue a estimer. En revanche, le param etre de lissage est un facteur important et crucial dans l'estimation de la fonction de densit e par la m ethode des noyaux associ es (sym etriques et asym etriques). De petites ou de grandes valeurs de h peuvent conduire a une estimation sous ou sur-liss ee. Deux cat egories de m ethodes classiques ont et e propos ees dans la litt erature pour choisir ce param etre. La premi ere cat egorie repose sur la minimisation de l'erreur quadratique moyenne int egr ee (MISE). Cette classe de m ethodes est int eressante en th eorie, mais sa di cult e majeure r eside dans les applications, en e et, le param etre de lissage optimal d epend d'une ou plusieurs quantit es inconnues. La deuxi eme cat egorie est de type validation crois ee, elle est int eressante en pratique car elle se laisse guider seulement par les observations. Cependant, dans le cas de densit es a support r eel non born e, des etudes ont montr e que les techniques de validation crois ee peuvent produire plusieurs optimums locaux. L'objectif du pr esent travail est de v eri er, a base des echantillons simul es, si le ph enom ene des optimums locaux dans les m ethodes de validation crois ee (UCV et LCV ) persiste lorsque nous consid erons l'estimation a noyau des densit es a supports semi-born es (x 2 R+) ou des densit es a supports discret (x 2 N). Pour r epondre a notre objectif nous avons organiser ce m emoire comme suit : Dans le premier chapitre nous allons pr esenter les principales notions de l'estimation de la densit e de probabilit e par la m ethode du noyau. Ensuite, ses propri et es (biais, variances, ....) et les inconv enients du choix des deux param etres qui constituent un estimateur a noyau, a savoir : le param etre de lissage h et le noyau K. Dans le deuxi eme chapitre, nous allons pr esenter bri evement l'id ee et la notion de l'estimateur a noyau asym etrique dans le cas de variables d e nies sur R+ et le cas de variables d e nies sur N. Par la suite, la question du choix de noyau et du param etre de lissage ainsi que les propri et es des estimateurs con cu dans ce cadre sera pr esent e. En n, avant de conclure, dans le troisi eme chapitre nous allons pr esent e une application num erique qui illustre le ph enom ene des optimums locaux dans les m ethodes de validation crois ee (UCV et LCV ) pour le choix du param etre de lissage lors de l'estimation d'une densit e de probabilit e par la m ethode du noyau, et cela dans le cas de : densit es a support continu et non-born e (x 2 R), densit es a support continu positif (x 2 R+) et densit es a support discret non-born e (x 2 N).