Estimation de l Indice des Valeurs Extrêmes sous Censure

Abstract

L analyse de survie est un domaine des statistiques qui trouve sa place dans tous les champs d applications où l on étudie la survenue d un évènement. L objectif de cette analyse réside dans l analyse du délai de survie d un évènement dans un ou plusieurs groupes d individués. Dans le domaine biomédical, par exemple, plusieurs évènements sont intéres- sants à étudier : Le développement d une maladie. La réponse à un traitement donné. La rechute d une maladie ou décès. Une des caractéristiques des données de survie est l existence d observation incomplète. La censure fait partie du processus générant ce type de donnée. La théorie des valeurs extrêmes (TVE) représante un outil approprie permettant d extrapoler le comportement des queues de distrubutions à partir des plus grands (ou plus petites) valeurs observées. Sur le plan statistique, l étude permet de fournir des outils probabilistes et statistiques qui permettent de modéliser pour prévoir l occurrence des évènements rares. Ces événements rares sont des phénomènes aléatoires qui ont une faible probabilité d apparition et sont rencontrés dans plusieurs domaines devenus secteurs d application de la théorie des valeurs extrêmes. On peut citer entre autres : La météorologie : pour l étude de vitesse de vent, extrême pluviométrique, des tempé- ratures, ... En hydrologie : pour l étude la probabilité que la hauteur d eau d un euve dépasse un certain seuil (Voir Guillou et al [4]). La nance (Marchés nanciers) : Pour l étude quantitative des boums et Krachs bour- siers, qui se traduisent par de fortes variations des cours nanciers (voir Login [22]). L assurance et la Réassurance : Pour l étude des risques graves ou rares a n d avoir une certaine stabilité des indicateurs qui traduit une bonne adéquation entre la sinistralité et la tari cation (voir Embrechts et al [12]) La théorie des valeurs extrêmes, fondée sur des résultats de la théorie des probabilités, o¤re un cadre mathématique rigoureux pour l estimation des probabilités d événements rares. Il s agit fondamentalement de modéliser un phénomène aléatoire, en s intéressant principalement aux quantiles extrêmes et à la queue de distribution souvent modélisée par un indice appelé indice des valeurs extrêmes. L utilisation des lois des valeurs extrêmes repose sur des propriétés des statistiques d ordre et sur des méthodes d extrapolation. Plus précisément, elle repose sur la convergence des maxima ou des minima des variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, convenablement renormalisées. C est dire donc qu on étudie le comportement asymptotique des lois des extrêmes. Ces lois, appelées lois des valeurs extrêmes sont bien connues et elles sont de trois types : Fréchet, Gubmel, et Weibull. Les lois des valeurs extrêmes, lorsqu elle existe, sont indexées par l indice des valeurs extrêmes (IVE). La connaissance de cet indice est un élément important car il contrôle la "lourdeur" de la queue de distribution. Ainsi de nombreux estimateurs de l indice des valeurs extrêmes ont été proposé dans la littérature (Estimateur d Hill, Pikands, ...). L estimation de cet indice dépend largement de nombre de statistiques d ordre extrêmes observées. Ce nombre détermine les valeurs qui sont réellement extrêmes.En particulier la théorie des valeurs extrêmes dans le cas censurée est un sujet de recherche et étude de nombreux scienti ques et dévelloppement des nombreuses estimations tel que Reiss et Thomas [28], Einmahl et all [11], Brahimi et all [5]...etc. Ce mémoire est composé de deux chapitres : Le premier Chapitre se regroupe en trois sections. Dans la section 1.1, on commençe par quelques rappels et dé nitions sur la fonction de survie, la fdr, les fonctions empiriques de répartition et de survie et les trois fonction de densité, risque et risque cumulé. Plus dans la section 1.2, on présente un seul cas de données incomplètes : données de censure et ses types (droite, gauche et par intervale ). Dans la section 1.3, on présente une synthèse des principaux estimateurs, dont les plus célèbres estimateurs non-paramétriques sont l estima- teur de Kaplan-Meier de fonction de survie et l estimateur de Nelson-Aalen pour la fonction de hasard cumulée. Le deuxième Chapitre se compose de quatre Sections. La section 2.1 se compose de deux partie, la première partie, on parle sur les lois des grands nombres et les propriétés asymp- totiques de la somme des va s iid (TCL), et la deuxième partie on parle sur les staristiques d ordres, qui est trés utile en théorie des valeurs extrêmes. Ensuite, la section 2.2 donne des résultats limites sur la distrubution de maximum de l échantillon. La section 2.3, on dis- cute également la notion des domaines d attraction d une distribution selon le paramètre de l indice de queue. Puis la section 2.4 , se compose deux parties, on donne dans la première partie les estimateurs classiques de l indice de valeurs extrêmes tels l estimateur de Hill, de Pickands et des Moments dans le cadre de sans censure.le dernier partie parle sur l estimation de l indice des valeurs extrêmes en présence de données censurées aléatoirement à droite.