Fonctions à variation bornée

Abstract

Le développement de la théorie des fonctions à variation bornée s est fait dans un sens complè- tement inattendu et que l inventeur de ces fonctions ne pouvait certainement pas prévoir, car ce développement n est devenu possible qu après les travaux de H. Lebesgue sur les intégrales dé nies. Ce type de fonctions est apparait la première fois dans les travaux de Jordan en 1881 pour l étude de Séries de Fourier. Il pose déjà les premiers fondements de l étude intrinsèque des fonctions à variation bornée. Il donne, exactement comme nous le ferions aujourd hui, le moyen de reconnaître si une fonction donnée f(x) est à variation bornée dans un intervalle (a; b) et il dé nit sa variation positive, sa variation négative et sa variation totale dans cet intervalle. Il montre que les fonctions à variation bornée sont intégrables au sens de Riemann et que les intégrales indé nies de fonctions bornées sont des fonctions à variation bornée. En Séries de Fourier tout le monde connaît le théorème de Dirichlet sur la convergence des Séries de Fourier. La démonstration s applique aux fonctions bornées qui n ont qu un nombre ni d extrêmes et de discontinuités Une autre importance des ces fonctions est l explication la dérivation faible ou (aux sens de dis- tributions). En e¤et au siècle dernier s est posé la question de savoir si les fonctions appartenant à telle ou telle catégorie, comme les fonctions continues ou monotones, admettent nécessairement des dérivées (sur R ou sur R privé d un ensemble de mesure nulle). C est Weierstrass qui a fourni le premier résultat en construisant une fonction continue sans dérivée. En voici un exemple dû à Van der Waerden, fondé sur le fait qu une suite de nombres entiers ne peut être convergente que si ses termes restent constants à partir d un certain rang. Pour x 2 R, on pose : f(x) = 1X n=0 f10nxg 10n où fxg désigne la distance de x à l entier le plus proche. f est continue sur R, mais dérivable nulle part. D autre part l extension du concept aux fonctions de plusieurs variables n est pas aussi simple. La théorie abstraite de la mesure et la géométrie ont permet d élargir cette classe aux fonctions de plusieurs variables qui est aujourd hui un outil très puissant pour modéliser de nombreux phé- nomènes et a¤ronter quantité de problèmes mathématiques. C est surtout à partir des années 50, avec les travaux de De Giorgi, qu elles ont pris une place centrale dans le calcul des variations. Notamment, le problème des surfaces minimales, les fonctions à variation bornée ont permis d étu- dier de nombreux phénomènes tels que les transitions de phases, les fractures, la segmentation ou d autres applications en traitement d images, des problèmes de discontinuités libres tels que cer- taines questions de plasticité ou de la théorie des cristaux liquides. C est également un bon cadre pour étudier des questions de nature géométrique telles que les diverses variantes du problème isopérimétrique. Le présent mémoire contient trois principaux chapitres : le premier chapitre est consacré aux études des fonctions monotones et leur lien avec la dérivabilité. Dans la deuxième section on introduit le concept des fonctions à variation bornée. On va caractériser ce type de fonctions et. Dans le deuxième chapitre, on va étudier sa liaison avec d autres classes telles que les fonctions monotones et les fonctions lipchitziennes. Notamment va citer des résultats concernant la di¤éren- tiabilite des fonctions monotones sur l espace R sauf éventuellement sur un ensemble de mesure nulle, puis on démontre le théorème célèbre de Lebesgue. On se termine ce chapitre par la structure de l espace de Banach des fonctions à variation bornée et démontrer le théorème de densité dû à Helly. Dans le troisième chapitre, on étend la notion de fonctions à variation bornée aux fonctions dé nies sur Rn. On va dé nir l espace de Banach des fonctions à variations bornée sur un domaine borné de Rn. A n avoir illustré l importance de cette classe de fonctions dans les applications, on a introduit un model variationnel proposé par de Rudin-Osher-Fatemi lors de l étude de la restauration des images dégradées. Ce modèle consiste essentiellement à minimiser la variation totale de certaines fonctionnelles.