certains aspects des systèmes différentiels d ordre fractionnaire

Abstract

Les origines du calcul fractionnaire remontent à la n du 17 eme siècle, l époque où Newton et Leibniz ont développé les fondements du calcul di¤érentiel et inté- gral.En particulier, Leibniz à présenté le symbole de dérivation d ordre n, dny dxn = Dny, où n est un entier positif. Ce fut peut être un jeu naïf des symboles qui poussa l Hospital à s interroger sur la possibilité d avoir n dans Q. Il posa la question : Et si n = 1 2?: En 1695, dans une lettre à l Hospital, Leibniz écrivit prophétiquement :« Ainsi il s ensuit que d 1 2 x sera égal à xp2 dx : x, un paradoxe apparent dont l on tirera un jour d utiles conséquences » . Plusieurs auteurs considèrent cette lettre datée en 30 septembre 1695 [7], comme heure de naissance du calcul fractionnaire. Donc le calcul fractionnaire est un sujet mathématique datant de plus de 300 ans. Ce sujet peut être considéré comme un vieux roman et encore nouveau sujet. mais ce n est que lors des trois dernières décennies que le calcul fractionnaire a connu le plus d intérêt et les applications des dérivées fractionnaires se sont le plus diver- si ées. Le chaos est la deuxième notion-clé sur laquelle se base ce mémoire. La théorie des systèmes dynamiques a pour but initial la description du mouvement d un objet comme celui d une planète ou d une particule, représenté, en temps continu, par une équation di¤érentielle autonome ou bien, en temps discret, par une application que l on itère. Elle tient ses origines de la mécanique céleste, avec le travail fondateur de Henri Poincaré motivé par la question de la stabilité du système solaire, qu il élabora dans son mémoire "Sur le problème des trois corps et les équations de la dynamique" paru en 1890. L étude des systèmes d ordre fractionnaire est plus délicate que pour leurs homologues d ordre entier. En effet, les systèmes fractionnaires sont, d une part, considérés comme des systèmes à mémoire, notamment pour la prise en compte des conditions initiales et d autre part ils présentent une dynamique beaucoup plus complexe. Le calcul traditionnel étant basé sur la di¤érentiation et l intégration d ordre entier, le concept de calcul fractionnaire a le potentiel énorme de changer la manière dont nous voyons, modélisons, et commandons la "nature" au- tour de nous. Plusieurs études théoriques et expérimentales montrent que certains systèmes électrochimiques [10], thermiques [11] et visco-élastiques [9] sont régis par des équations di¤é- rentielles à dérivées non-entières. L utilisation de modèles classiques basés sur une dérivation entière n est donc pas appropriée. Par ce fait, des modèles basés sur des équations di¤éren- tielles à dérivées non-entières ont été développés [6] Un problème que nous allons étudier c est quand un système ordinaire est chaotique, dans quelles conditions le système fractionnaire correspondant est aussi chaotique ? Plus précisé- ment pour quelles ordres, le système fractionnaire reste chaotique ? Notre mémoire est organisé de la façon suivante : Dans le premier chapitre, Nous avons rassemblé les outils nécessaires pour cet étude (la dé- rivation fractionnaire, généralités sur les systèmes dynamiques d ordre fractionnaire, notions de stabilité) Le deuxième chapitre, est consacré à l étude d un système dynamique chaotique d ordre fractionnaire. On choisit le système de Chen.Et nous avons introduit la théorie de chaos et celle de la bifurcation où nous avons discuté leurs dé nitions et leurs caractéristiques.A la n de ce mémoire qui annexé par deux annexes, le premier contient des fonctions utiles telle que la fonction de Gamma, Béta, Mittag-Le¤er, tandis que le deuxième est consacré aux di¤érentes abréviations et notations utilisées tout au long de ce mémoire. En n on trouvera une bibliographie utilisée pour cette étude.