Transformation de Laplace et applications

Abstract

La transformation de Laplace, avec la transformation de Fourier, est l une des plus im- portantes transformations intégrales. Elle intervient dans de nombreuses problémes de physique mathématique, de calcul des probabilités, d automatique, etc..., et elle joue aussi un grand rôle en analyse classique. Elle porte très légitimement le nom de Pierre-Simon La- place(1749-1827), surnommé le « Newton français » , En e¤et, Laplace a souligné l intérêt de présenter la plupart des fonctions, des suites, des sommes partielles et des restes des séries usuelles sous forme intégrale, a n d en obtenir des développements. Plus tard, l ingénieur britannique Oliver Heaviside (1850-1925) a inventé le calcul symbolique a n de résoudre des équations di¤érentielles et intégrales. Laurent Schwartz (1915-2002) a étendu la transfor- mation de Laplace aux distributions, permettant de mieux comprendre et étayer le calcul symbolique. La transformation de Laplace est un processous éxécuté sur des fonctions mathématiques pour la convertir d un champ à un autre. Il s agit généralement d une conversion de do- maine temporel(t) en domaine fréquentiel(z = x + iy), similaire à une transformation de Fourier(TF) mais peut être vue comme une généralisation de TF restreinte aux fonctions dé nis sur R+. On intérêt théorique permet de résoudre divers problèmes de la physique. Plus précisément, elle permet de résoudre, analytiquement, quelques équations di¤érentielles linéaires et aussi quelques équations intégrale . Dans ce mémoire, on s intéresse à la transformation de Laplace au sens des fonctions et des distributions et nous avons présenté l application de cette transformée. L organisation de ce mémoire s articule autour du plan de travail suivant : Chapiter 1 : Dans ce chapiter. Nous allons étudier la transformation de Laplace d une fonction f localement sommable dé nie sur R+ (fonction causale). On étudie le probléme d inversion de transformation de Laplace qui consiste à déterminer une fonction Lf = F soit la transformée de Laplace. Chapiter 2 : Dans ce chapiter. On étudier la transformation de Laplace au sens des distri- butions et comment résoudre les équations de convolution. Chapiter 3 : Ce chapiter porte quelques applications sur la transformation de Laplace (résouder des équations di¤érentielles linéaire et des équations aux dérivées partielles ainsi que des équations intégrales ).