Initiation à la Supersymétrie

Abstract

Il est bien connu que la méthode de la supersymétrie quantique se caractérise par sa simplicité et sa ‡exibilité lors de son application aux potentiels locaux. Cette souplesse se traduit par son processus très e¢cace dans la détermination exacte des propriétés microscopiques des systèmes, telles que le spectre et les fonctions propres. Dans ce travail, nous avons voulu reprendre un travail déjà fait sur l’extension de l’applicabilité de cette théorie SUSYQM aux potentiels dépendant linéairement de l’énergie. Pour ce faire, nous avons en premier lieu développé le formalisme de la MQSUSY dans le cas des potentiels unidimensionnels (1D) dépendant uniquement de la position. Cette approche est basée sur la factorisation de l’Hamiltonien étudié suivie par la dé…nition d’un paramètre clef dit le superpotentiel. Cet élément essentiel sert à construire tous les partenaires supersymétriques et engendrer systématiquement leurs spectres et leurs vecteurs propres. L’établissement d’une hiérarchie des Hamiltoniens supersymétriques permet de dé…nir une classe de potentiels possédant les mêmes solutions exactes, avec un nombre d’états liés di¤érent, malgré leurs formes incompatibles. Cette structure était très avantageuse car elle a été la source de la mise en oeuvre d’une propriété rigoureuse et très utile connue par l’invariance de forme. Elle combine entre l’élégance et l’e¢cacité et permet d’accéder aisément à toutes les solutions, uniquement via les données de l’état fondamental. Trois exemples d’application véri…ant la propriété de l’invariance de forme ont été abordés : le potentiel à une dimension du type Rosen-Morse, les interactions Coulombiènnes perturbées et le Potentiel carré in…ni. Ces derniers bien qu’ils soient solubles analytiquement par d’autres méthodes, ils sont à l’origine, poue chacun d’entre eux, d’une famille de potentiels plus compliqués qui deviennent solubles algébriquement grâce à la SUSYQM. Par la suite, nous nous sommes intéressés dans le troisième chapitre à l’application du formalisme SUSY sur deux potentiels di¤érents que nous avons appelé par convenance type (1) 1 () = 1  + 1 2 + 1 3 + 1 4 ; et type (2) 2 = 22+ 2 2 + 2 4 + 2 6 Après un calcul détaillé, nous sommes parvenus à un résultat qusi-exactes, qui est en parfait accord avec les résultats obtenue par la référence [109]. Nous avons remarqué par la suite qu’à chaque fois que nous traitons chaque terme de chaque potentiel en revient à des résultats exacts ce qui ne diminue en rien de ce travail, bien au contraire, il renforce la généralisation de ces type de potentiels à puissances renversées. Les solutions d’état fondamental dans des dimensions arbitraires pour le potentiel de Coulomb (1 = 1 = 1 = 0), et pour le Kratzer (1 = 1 = 0)[94], et pour une puissance inverse 1 = 0 [76 77] sont des solutions exactes, on peut également trouver des potentiels à partir de ses prescriptions. Puis dans le cas 2 = 0 dans le potentiel 2 ()  nous aurons alors un nouveau potentiel  () = 2 +  4 +  6 qui est le même de la réf [28]  qui a été traité aussi convenabelement pour aboutir des résultas exactes jusqu’au degré  hamiltonien. La méthode supersymetrique est très e¢cace dans la résolution de l’équation de Schrödinger unidimensionnelle pour des potentiels jouissant de la propriété d’invariance de forme et dans le cadre d’une symétrie non brisée ; c’est-à-dire si la fonction d’onde déduite, suite à la factorisation de l’hamiltonien, est acceptable physiquement. Malheureusement tous les potentiels ne sont pas invariants de forme, et il est parfois di¢cile d’éviter la brisure de symétrie, car on a a¤aire à l’équation de Riccati, où il n’existe aucune recette permettant son intégration de façon générale. Sans ces deux di¢cultés majeurs (invariance de forme et brisure de symétrie), la technique supersymétrique serait sans doute la plus géniale des méthodes permettant d’intégrer l’équation de Schrödinger stationnaire unidimensionnelle avec élégance. Il serait alors bon de penser un jour à trouver une alternative, en cas de non invariance de forme, ou de brisure de symétrie, sans recourir à d’autres méthodes.