Équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) avec application au contrôle stochastique et aux équations aux dérivées partielles (EDP)

Abstract

L’objet de cette thèse est l’étude des équations différentielles stochastiques rétrogrades (en abrégé EDSR, BSDE en anglais) avec application au contrôle stochastique et aux équations aux dérivées partielles (EDP, PDE en anglais). Les EDSR ont été introduites en 1973 par J.- M. Bismut pour la première fois dans le cas linéaire, E. Pardoux et S. Peng en 1990 ont établi le premier résultat d’existence et d’unicité de la solution d’une EDSR dans le cas non linéaire. Depuis, la littérature sur les EDSR ne cesse de s’accroître. Ceci est essentiellement dû aux nombreuses applications qu’elles ont pu apporter dans divers domaines de mathématiques tels que les équations aux dérivées partielles, les mathématiques Financières, le contrôle optimal, les jeux différentiels et la géométrie différentielle. Cette thèse contient une introduction générale et trois chapitres. Dans l’introduction générale on donne un aperçu général sur la théorie des équation différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR). On donne les résultats antérieurs sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades et sur les EDSR reflechiés et les EDSR avec champ moyen. On présente les résultats de la présente thèse. Le premier chapitre traite un problème d’existence de solutions faibles d’équations diffé-rentielles stochastiques progressives-rétrogrades (EDSPR). Le générateur de l’EDSPR est supposé continu en (y; z) mais éventuellement discontinu en x. Le drift de la composante progressive est simplement un drift mesurable et le coefficient de diffusion peut être discontinu. Notre approche est basée sur des équations aux dérivées partielles. Le deuxième chapitre traite le principe du maximum de Pontryagin pour un système dont la dynamique est dirigé par une EDSR à champ moyen et à horizon in…ni, où les coefficients dépendent de la loi marginale du processus d’état par l’espérance de sa valeur. De plus, la fonction du coût est aussi de type champ-moyen. Les conditions nécessaires d’optimalité pour ses systèmes seront établies sous la forme de principe du maximum par les techniques den perturbation convexe. Dans le troisième chapitre, nous étudions les équations différentielles stochastiques rétrogrades réfléchies lorsque le générateur est à croissance quadratique en la variable z et la vcondition terminale est dans L2.