Produit d'opérateurs de Toeplitz et opérateur de composition

Abstract

Le but de cette thèse est d'étudier certains opérateurs sur les espaces de Dirichlet. Dans la première partie de la thèse on s'intéresse aux opérateurs de Toeplitz tronqués sur l'espace modèle, plus particulièrement à la stabilité du produit. Nous donnons une démonstration du théorème de Sedlock pour le produit de deux opérateurs de Toeplitz tronqués par la méthode matricielle, ensuite nous proposons une caractérisation matricielle d'un opérateur de Toeplitz tronqué de type alpha dans le cas où la fonction intérieure u est un produit de Blaschke d'ordre n. Dans la deuxième partie de la thèse nous avons étudié les opérateurs de composition sur l'espace de Dirichlet. Nous sommes intéressés plus particulièrement, à la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna associée aux symboles. Shapiro a caractérisé la compacité des opérateurs de composition sur l'espace de Hardy à l'aide de la fonction de comptage de Nevanlinna du symbole. Plus généralement sur les espaces de Dirichlet nous avons donné une majoration de la fonction de comptage généralisée de Nevanlinna par la norme des itérées de symbole.