Equations Différentielles Stochastiques Rétrogrades et Applications en Contrôle Optimal

Abstract

Dans ce travail, nous introduisons la notion des équations différentielles stochastiques rétrogrades que l'on notera EDSR. Nous étudions des résultats d'existence et d'unicité de la solution dans le cas lipschitzien et celui monotonie, nous donnons ensuite quelques estimation à priori pour les solutions des EDSR et enfin nous rappelons un résultat de comparaison, théorème de Peng. Aussi on s'intéresse à un problème de contrôle stochastique, où ce système est gouverné par une EDSR linéaire et le domaine du contrôle et le coût fonctionnelle sont supposées convexes. Nous prouvons l'existence de contrôle optimale strict et on établit des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité sous forme de principe du maximum de Pontriagin. La preuve est basée sur le principe de l'optimisation convexe. Le premier chapitre est consacré à la théorie du calcul stochastique, en donnant les définitions et les propriétés des processus continues ainsi que leurs résultats principaux qui nous permettre de définir l'intégrale stochastique, et puis l'existence et l'unicité de la solution d'une équation différentielle stochastique (EDS). Dans le deuxième chapitre, nous nous sommes intéressés à l'étude des EDSR, telle que l'existence et l'unicité, les estimations à priori et le théorème de comparaison qui fait appel à la notion des EDSR linéaires. Dans le troisième chapitre, on s'intéresse au problème de contrôle stochastique. Nous prouvons l'existence de contrôle optimale strict et on établit des conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité pour des systèmes gouvernés par EDSR linéaires. Mots clés : Mouvement Brownien- Intégrale stochastique- Equation différentielle stochastique rétrograde- Contrôle stochastique- Principe de maximum