Principe du maximum pour les EDSs de type champ-moyen et application

Abstract

Dans ce travail, on considère un problème de contrôle stochastique de type champ-moyen, qui consiste a minimiser une fonction de coût donnée par : J (u) = E Z T 0 h (t; xt;E' (xt) ; ut) dt + g (xT ;E (xT ))

; où xt est une solution en t d un systeme gouverné par l équation di¤érentielle stochastique (EDS) de type champ-moyen de la forme suivante : 8>>< >>: dxt = b (t; xt;E (xt) ; ut) dt + (t; xt;E (xt) ; ut) dBt; x (0) = x0; où b, , et sont des fonctions déterministes et Bt un mouvement brownien. Notre objectif est d établir des conditions nécéssaires et su¢ santes d optimalité sous la forme de principe du maximum stochastique de Pontryagin. Le system considéré dans ce travail est de type champ-moyen dans lequel les coe¢ cients dépendent, de manière non linéaire, sur le processus de l état xt avec sa loi de probabilité (esperance E(x)). En particulier, nous supposons le domaine de contrôle est nécessairement convexe. Cette étude est basé sur le travail de Andersson, Djehiche [2] (A maximum principle for sdes of mean- eld type, Applied Mathematics & Optimization 63 (2011), no. 3, 341-356.). Nous présentons dans ce travail trois chapitres, le premier chapitre est introductif et permet d introduire les outils essentiels pour le deuxieme et le troisième chapitres, ces deux dérniers, contient la contribution essentielle de notre travail.La suite de ce travail est organisée de la maniére suivante : Dans le premier chapitre, nous commencons par présenter les résultats principaux du calcul stochastique, puis nous donnons les classes des contrôles stochastiques de façons générales. Le deuxième chapitre contient la contribution essentielle de ce travail. Ce chapitre est consa- cré à l étude du problème de principe du maximum stochastique où le syteme di¤érentiel est gouverné par des EDSs de type champ-moyen. Pour cela, on suppose que la fonction coût J (u), où u est un contrôle admissible, est di¤érentiable et accepte un minimum en bu qu on ap- pelera contrôle optimale, J (bu) = min fJ (u) ; u 2 U : convexeg ; puis on perturbe le contrôle bu sur un intervalle de longueur où on obtient un contrôle u qu on appelera perturbation convexe de bu, en remarquant ici que u est un contrôle admissible, est Ft adapté. L intérêt de la perturbation du contrôle optimal bu est d introduire un contrôle u sur laquelle nous pourrons dériver la fonction J 􀀀 u

. Le domaine de contrôle admissible est supposé convexe. Les conditions nécéssaires véri ées par le contrôle bu appelera conditions nécéssaire d optima- lité. Ce resultat a été établi par Andersson, Djehiche [2] (A maximum principle for sdes of mean- eld type, Applied Mathematics & Optimization 63 (2011), no. 3, 341-356). Notons que les étapes d étude suivies dans ce chapitre sont similaires à celles de Bensoussan [4]. ("Lectures on stochastic control," Nonlinear ltering and stochastic control, Springer, 1982, pp. 1-62). Dans le dernier chapitre, nous appliquons le principe maximum stochastique au problème de sélection de portefeuille moyenne variance.