Principe du maximum pour les problèmes de contrôle optimal partiellement observé et avec retard

Abstract

Un système stochastique de contrôle dont l état est décrit par la solution d une équa- tion di¤érentiel stochastique avec retard (SDDE) est appelé système avec retardé. Ce type de système émerge naturellement car certains phénomènes ont propriétés dépend du passé, c est-à-dire que leur comportement à l instant t ne dépend seulement de la situation actuelle, mais également de leur passé. Les problèmes de contrôle optimal stochastiques avec retard ont fait l objet baeucoup d attentions au cours des dernières années depuis les travaux initiaux de Kolmanovsky et Maizenberg [7], où le système de retard est linéaire avec une fonction de coût quadratique. Un principe du maximum stochastique su¢ sant.avec retard a été fait par Øksendal et Sulem [11]. La programmation dynamique avec retard a été fait par par Larssen [8]. Récemment, Peng et Yang [14] ont introduit un nouveau type d équations di¤érentielles stochastiques, appelées équations di¤érentielles rétrogrades anticipées (ABSDEs) et ont fourni une nouvelle méthode permettant de traiter le problème du contrôle optimal avec retard. Les ABSDEs peuvent être considérées comme une généralisation des BSDE clas- siques, introduites par Bismut [2] sous forme linéaire et généralisées au cas non linéaire par Pardoux et Peng [13]. Par la relation de dualité entre SDDEs et ABSDEs, Chen et Wu [3] ont obtenu un principe du maximum pour le problème de contrôle optimal stochastique avec retard. Notre objectif dans ce mémoire est de faire une étude détaillée sur les problèmes de contrôle partiellement observé et avec retard. Nous utilisons le théorème de Girsanov pour transfor-mer notre problème de contrôle optimal en un cas complètement observable pour obtenir le principe du maximum partiellement observé. Cette étude est basé sur le travail deWu et Shu [20] (S.Wu and L. Shu, Maximum principle for partially-observed optimal control pro- blems of stochastic delay systems, Journal of Systems Science and Complexity 30 (2017), no. 2, 316-328). Nous présentons notre mémoire de la manière suivante : Dans le premier chapitre, nous donnons un bref rappel sur la théorie du calcul stochastique qui permet d introduire les outils essentiels pour le deuxieme et le troisième chapitres. Dans le deuxième chapitre, nous étudions le principe du maximum pour les problèmes de contrôle partiellement observé et avec retard. Le dernier chapitre, nous appliquons le principe du maximum au problème de contrôle optimal linéaire-quadratique partiellement observé et avec retard.