Estimation et test de l indice des valeurs extrêmes en présence de censure

Abstract

L analyse de survie est la partie de la statistique qui s intéresse à l inférence dans le cas d observations censurées. Elle trouve sa place dans tous les champs d application où l on étudie le délai de survenue d un évènement dans un ou plusieurs groupes d individus. Dans le domaine biomédical, par exemple, plusieurs évènements sont intéressants à étudier, le développement d une maladie, la réponse à un traitement donné, la rechute d une maladie ou le décès. Ce trouve aussi beaucoup d applications dans les sciences sociales, économiques et actuarielles, on l appelle "analyse de durée". Une des caractéristiques des données de survie est l existence d observations incomplètes. La théorie des valeurs extrêmes (TVE) est une branche de la statistique qui essaie d amener une solution face à des évènements rares ; c est à dire des événements dont la probabilité de réalisation est très faible. Cette théorie a été développée dans le contexte d observations indé- pendantes ; les auteurs Fisher et Tippet (1928) [14]; montrent que sous certaines conditions, les seules distributions limites des extrêmes sont les lois de Fréchet, Gumbel et Weibull. Ceci nous permet de classer la plupart des lois en trois domaines d attraction où chaque domaine est déterminé par des caractérisations sur les fonctions de répartition. Von Mises (1954) [30] puis Jenkinson (1955) [21] ont rassemblé les distributions de ces trois domaines en une seule écriture (voir Embrechts et al (1997) [12], de Haan et Ferreira (2006) [9]). Cependant, on y retrouve deux modèles : loi généralisée des extrêmes (GEV : Generalized Extreme Value) et loi de Pareto généralisée (GPD : Generalized Pareto Distribution). Divers travaux ont été consacrés à l estimation de l indice des extrêmes dont l objectif revient à construire des estimateurs et étudier leurs propriétés ; citons Hill (1975) [19] et Pickands (1975) [26]. La plupart des estimateurs reposent sur l utilisation de la statistique d ordre. La modélisation des valeurs extrêmes censurées, est un problème très récent dans la littéra- ture, les premiers qui ont mentionné le sujet sont (Reiss et Thomas, 2007 [27]). Les auteurs Beirlant et al en (2007) [3] commencé a proposé une adaptation d estimation classique de l indice des valeurs extrêmes (EVI : Extreme value index) dans le cas où les données sont censurées. Leur estimateur est basé sur un estimateur standard de l indice de queue divisé par l estimateur de la proportion de données non censurées dépassant un certain seuil déter- ministe. En 2008, Einmahl et al [13]ont utilisé le même concept pour proposer un estimateur de l indice de queue sur les k-plus grandes valeurs et ils ont proposés une méthode uni ée pour établir leur normalité asymptotique. L application de la théorie des tests d hypothèse dans le domaine des valeurs extrêmes censu- rées a béné ciée d une certaine attention dans la littérature récente. L objectif de ce travail est l estimation de l indice des valeurs extrêmes et de construire un test paramétrique pour cet indice, en se basant sur des données censurées ou incomplète. Ce mémoire est subdivisé en deux chapitres comme suit : Au premier chapitre, on présente une introduction sur les statistiques d ordre, nous donnons un aperçu des dé nitions et des résultats théoriques essentiels de la TVE, nous présentons les résultats sur le comportement du maximum, un rappel sur les deux principaux outils servant à modéliser le comportement des valeurs extrêmes d un échantillon : la loi des valeurs extrêmes (GEV) et la loi des excès (GPD). Nous nous intéressons ensuite à la caractérisation des domaines d attraction et les fonctions à variation régulière. Nous avons consacré le deuxième chapitre pour l estimation et l application d un test para- métrique de l indice de queue sous données incomplètes, nous nous limitons à un bref rappel sur quelques éléments fondamentaux de l analyse de survie et sur des notions et dé nitions de base de la théorie des tests d hypothèse. Dans la dernière section nous nous intéressons es- sentiellement a un test basé sur la normalité asymptotiquen de l indice des valeurs extrêmes, dans le cas de données censurées à droite. En n, nous présentons des résultats numériques du test à l aide des simulations sous logiciel R.