Sur les copules et applications

Abstract

Les copules constituent un sujet de recherche relativement moderne étant en plein essor depuit principalement les trois derniéres décenniers. Elles sont devenue en quelques années un outil important pour modéliser les risques multivariées (entre autres) sûrtout dans les domaines de la nance et l assurance. Les copules permettent de coupler les lois marginales a n d obtenir une lois multivariée, d où le nom latin copula qui signi e tout ce qui sert à attacher, lien et chaine, choisi par Abe Sklar en 1959, mathématiciens américain et pro¤esseur émérite à l linois Institude of Technology, la fonction sous-jacente fut étudier bien avant, sous d autres appellations, par exemple dans les traveaux de Frêchet, de Féron et de plusieurs autrs mathématiciens et statisticiens qui s intéressaient aux fonctions de distribution multivariée ayant les lois marginales xées. Elles mettent une évidence la relation de dépendance entre deux variables aléatoires par la relation établie dans le théorème de Sklar : F(x; y) = C(F1(x); F2(y)): La mesure de dépendance entre deux ou plusieurs variables aléatoires est une pratique lar- gement utilisée chez les statisticiens. Parmi celles-ci le coe¢ cient de corrélation linéaire de Pearson est les plus connu, mais l utilisation de cette mesure connait plusieurs défauts, pour éviter ce probléme nous avons recours à d aures mesures de dépendance observé sur un échan- tillon et qui sont les coe¢ cients de corrélation non linéaire telque le tau de Kendall et le rho de Spearman. Ces mesures de dépendance peuvent être exprimées explicitement en fonction de la copule.La connaissance de l outil statistique la copule est essentielle à l appréhension de nombreux domaines d application de la nance quantitative : gestion de risques, modélisation du risque de credit, l évaluation d options...ect, qu il est nécessaire de modéliser une structure de dépen- dance de plusieures variables aléatoires, à chaque fois, nous pouvons faire appel aux copules Ce travail est constitué de 2 chapitre : Chapitre1 : le premier chapitre est une introduction mathématique aux copules. Nous in- troduisons les dé nitions de base des copules bivariées, liées à cette théorie, en particulier le théorème de Sklar. Aprés nous présentons l aspect des mesures d associations : la mesure de concordance, la mesure de dépendance en forme de copule telle que le tau de Kendall et le rho de Spearman. A la n de ce chapitre nous présentons quelques exemples de familles paramétriques de copules les plus utilisées. Chapitre2 : Au deuxiéme chapitre, nous donnons une application des copules en assurance, nous calculerons la mesure de risque de distorsion copule (CMRD) de la somme de deux variables aléatoires qui conservent les propriétés de copule archimédienne. L implémentation se fera à l aide du logiciel de statistiques R.