Sur la Stabilité des Systèmes Différentiels d Ordre Fractionnaire

Abstract

Le calcul fractionnaire est une généralisation de la notion de dérivée d ordre entier d une fonction f (x) par rapport à la variable x à des valeurs non entières de . Si est négatif, il s agit d une intégration non entière et si est positif, on parle d une dérivation non entière. La théorie de dérivation fractionnaire est un sujet presque aussi ancien que le calcul classique que nous le connaissons aujourd hui, ces origines remontent à la n du 17-i eme siècle, l époque où Newton et Leibniz ont développé les fondements du calcul di¤érentiel et intégral. Leibniz a introduit le symbole dnf dxn pour désigner la dérivée n-i eme d une fonction f: Quand il a annoncé dans une lettre à L Hospital en 1695, l Hospital a répondu : Que signi e dnf dxn si n = 1 2? Cette lettre de l Hôpital, est aujourd hui admise comme le premier incident de ce que nous appelons la dérivation fractionnaire, et le fait que L Hospital a demandé spéci que- ment pour n = 1 2 ; c est-à-dire une fraction, a en fait donné lieu au nom de ce domaine des mathématiques. Les dérivées non entières possèdent un e¤et de mémoire qu elles partagent avec plusieurs matériaux tels que les matériaux viscoélastiques ou polymères. Ce fait est également une des raisons pour lesquelles le calcul fractionnaire a connu récemment un grand intérêt. Maintenant, nous citons une liste de mathématiciens qui ont fourni des contributions importantes au calcul fractionnaire jusqu au milieu du 20-i eme siècle :P.S. Laplace (1812), J.B.J. Fourier (1822), N.H. Abel (1823-1826), J. Liouville (1832-1873), B. Riemann (1847), H. Holmgren (1865-1867), A.K. Grunwald (1867-1872), A.V. Letnikov (1868-1872), H. Laurent (1884), P.A. Nekrassov (1888), A. Krug (1890), J. Hadamard (1892), O. Heaviside (1892-1912), S. Pincherle (1902), G.H. Hardy et J.E. Littlewood (1917-1928), H.Weyl(1917), P. Levy (1923), A. Marchaud (1927), H.T. Davis (1924-1936), A. Zygmund (1935-1945), E.R. Amour (1938-1996), H. Kober (1940), D.V.Widder (1941), M. Riesz(1949). Cependant, cette théorie peut être considérée comme un sujet nouveau aussi. De nom- breuses dé nitions ont été alors données sur la dérivation et l intégration fractionnaire. Ce mémoire se décompose de deux chapitres partagés de la manière suivante : Premier chapitre : Dans ce chapitre, nous rappelons quelques notions et dé nitions des fonctions spéci ques utiles tout au long de ce mémoire ainsi que des approches des dérivées et intégrales fractionnaires (approche de Grünwald-Letnikov, Riemann-Liouville, Caputo) et leurs propriétés. Deuxième chapitre : Ce chapitre est consacré pour l étude de stabilité des systèmes di¤é- rentiels d ordre fractionnaire, on va introduire dans la première partie de ce chapitre les concepts de base de la notion de stabilité. La seconde partie du chapitre est consacrée à la présentation des techniques qui donnent une information sur la stabilité d un système en ordre entier vers l ordre fractionnaire ainsi que méthodes de Lyapunov. En n, on termine par l étude du critère très important pour l analyse de la stabilité Routh-Hurwitz.