Synchronisation Identique des Systèmes Chaotiques

Abstract

L étude des systèmes dynamiques non linéaires ont tardivement fait l objet d intenses re- cherches et explorations. En 1963, le météorologue Edward Lorenz venait de découvrir le phénomène de sensibilité aux conditions initiales. Les systèmes répondant à cette pro- priété seront à partir de 1975 dénommés les systèmes chaotiques par Tien-Yien Li et James A York qui ont présenté pour la première fois le terme chaos. Cependant, les travaux de Davide Ruelle et du mathématicien Floris Takens menaient bien avant cette découverte, et vont être très utiles à la compréhension de la dynamique chaotique. Vers la n du XIXeme siècle Henri Poincaré, avait mis en évidence le phénomène de sensibi- lité aux conditions initiales lors l étude astronomique du problème des trois corps. Toujours au XIXeme siècle, le mathématicien russe Aleksandr Mikhailovich Lyapunov e¤ectuait des recherches sur la stabilité du mouvement. Les travaux de Lyapunov seront très précieux pour étudier certaines aspects de la théorie du chaos. Parallèlement aux travaux sur le chaos, une autre branche développée dans le domaine des systèmes dynamiques attire l intérêt des chercheurs scienti ques, c est la synchronisation. Ce phénomène est devenu un sujet de recherche active, lié au développement de la télé- communication, il a connu des améliorations trés remarquables dans le début du XIXeme siècle. En 1990, Carroll et Pecora, poinniers de la synchronisation, ayant comme idée d employer un signal chaotique entre deux systèmes dynamique identiques. Le premier système produisant le signal chaotique, s appelle le système émetteur (maître), le deuxième est le système récepteur (esclave) ; c était la synchronisation identique. Vu le développement puissant des moyens de técommunication, la synchronisation des sys- tèmes chaotiques commence à attirer l attention de plusieurs chercheurs multidisciplinaires à travers le monde, notamment les Chinois. De nos jours, elle trouve des applications poten- tielles dans plusieurs domaines telles que les communications, la programmation, la biologie, l informatique, la physique, la médecine, la robotique, etc. Par conséquent, plusieurs types de synchronisation sont présentés tels que la synchronisation généralisée, la synchronisation de phase, etc.[3] L objectif de cette mémoire est étudier la synchronisation identique des systèmes chaotiques. Notre travail est organisé de la façon suivante : Dans le premier chapitre nous èvoquerons brièvement les notions de base sur les systèmes chaotiques, en commençant par une dé nitions et notations sur les systèmes dynamiques et puis les notions de stabilité, en passant par l étude la théorie de bifurcation et nissant par la théorie du chaos. Le deuxième chapitre sera consacré à la théorie de la synchronisation où nous introduirons une serie des dé nitions qui nous permetteront de donner des dé nitions assez claires sur le phénomène de la synchronisation, les types de la synchronisation seront présentées (la synchronisation identique, la synchronisation généralisée, la synchronisation de phase), le chapitre sera clôturé par les méthodes de la synchronisation identique. Le troisième chapitre on propose une synchronisation identique entre deux systèmes chaotique (système de Chen), en utilisant la méthode du Carroll et Pecora. A la n de la mémoire, on donne une conclusion générale suivie d une bibliographie