Opérateurs compacts et applications

Abstract

Cette mémoire a pour but d étudier les opérateurs compacts, qui constituent une classe importante d opérateurs linéaires continus. Historiquement les premiers opérateurs compacts sont apparus avec les équations intégrales telle l équation de Dirichlet où la résolution formelle fait intervenir un opérateur à noyaux compact. Un opérateur linéaire T entre deux espace de Banach X et Y est dit compact si l image de la boule unité de X par T est relativement compacte dans Y:Cette di nition est due à Riesz (1918) elle est équivalente à de toute suit bornéé (xn)n de X on puet extraire une sous suit (Txnk)k convergente dans espace vectoriel fermé de l algèbre L(X; Y ) des opérateurs continues de X dans Y , K(X) = K(X;X) est un idéal bilatére de L(X) = L(X;X). Donnons maintenant un aparçu du contenu des chapitre : Le premier chapitre compose de deux sections, la première section nous rapplons l éssentiel des di - nitions et résultats sur l éspace de Hilbert. la dexième section, contient un aparçu sur les opéreteurs linéaire, adjoint et auto-adjoint ainsi ses propriétés spectrale. Au deuxième chapitre on s intéresse à l opérateur compact on donne ses propriétés fondamentales, pui on étudié l opérateur compact dans l éspace de Hilbert et on lançes l alternative de Fridholm. On continue par l opérateur compact auto-adjoint et leur décomposition spéctrale. Le troième et dernier chapitre est consacré aux application d opérateur compact. on prend deux exemples opérateurs de Hilbert-Schmidt, et résolution d une équation différentielle.