PROBLEME INVERSE DE CONDUCTION DE LA CHALEUR

Abstract

L équation de la chaleur est une équation aux dérivées partielles parabolique, pour décrire le phénomène physique de conduction thermique, introduite initialement en 1807 par Joseph Fourier, après des expériences sur la propagation de la chaleur, suivies par la modélisation de l évolution de la température avec des séries trigonométriques, appelées séries de Fourier et transformées de Fourier. Il a permi ainsi une grande amélioration de la modélisation mathématique des phénomènes physiques. Dans des nombreuses applications d ingénierie, nous devons déterminer la température des deux côtés d un mur épais, mais un côté est inaccessible aux mesures(voir : [8]). Ce problème conduit à l équation parabolique suivante dans le quart du plan : 8>>>>< >>>>: Uxx = Ut x > 0; t > 0; U (1:t) = g (t) t 0; U (x; 0) = 0 x 0: Notre but est de déterminer la condition aux limites source f (t) = U (0; t) à partir de la température g (t) = U (1; t) au point intérieur x = 1: Ce problème est mal posé. La solution (si elle existe) ne dépend pas continûment des données. Le problème de la détermination de la température sur la surface a été considéré par plusieurs auteurs avec di¤érentes méthodes (voir : [1], [3]). Notre mémoire est une lecture d une partie de l article ([9]), où les auteurs ont donné un algorithme stable pour identi er cette source en combinant deux metodes : la méthode de régularisation de Fourier et la méthode des différences finis. Le manuscrit est composé de deux chapitres. Dans le premier chapitre, on dé nit les problèmes inverses et on donne quelques exemples sur l équation de la chaleur. On dé nit aussi les problèmes mal posés et leurs étude par la régularisation ( on cite ici la méthode de Tikhonov et la méthode de Fourier). A la n, on donne une petite introduction au problème de Cauchy pour l équation de la chaleur. Le deuxième chapitre est consacré à l étude de notre problème. On utilise deux méthodes de régularisation : la régularisation de Fourier et la semi-discrétisation.