QUALQUES METHODES DE RESOLUTIONS DES EQUATIONS INTEGRALES

Abstract

Les premières équations intégrales furent obtenues par Daniel Bernoulli vers 1730 dans l étude des oscillations d une corde tendue. Aprés l introduction du noyau de Green, il fallut attendre les dernières années du xixesiècle, avec les travaux de H.A.Schwartz, de H.Poincare, de V.Volterra et surtout ceux de I.Fredholm, pour disposer de résultats généraux en liaison étroite avec les premiers développements de l analyse fonda- montelle. Quelques années plus tard, l étude des équations conduisait D.Hilbert à dé nir l espace qui porte son nom et à poser les premiers bases de la théorie spectrale, cadre dans lequel F.Riesz développera la théorie des opérateurs compacts en 1918: Ainsi, les équa- tions intégrales ont joués un rôle historique important dans l élaboration des principaux concepts de l analyse contemporaine. Fredhlme (1866 􀀀 1927) a étudié la méthode pour résoudre les équations intégrales du deuxième espèce. La théorie des équations intégrales intervient dans plusieurs domaines de mathématiques, beaucoup de problèmes dans le domaine des équations di¤érentielles ordinaires et partielles, la physique mathématique, les problèmes de contacts et de l astro- physique. En 1887, V.Volterra (1860 􀀀 1940) a établi la méthode de résolution des équations intégrales par les noyaux itérés. En outre, il a étendu la théorie des équations intégrales aux équation intégro-di¤érentielles et aux équations intégrales singulières. Ainsi, la théorie des équation a été un domaine de recherche actif dans les mathématiques appliquées et la physique mathématique. L importance des équations intégrales dans toutes les branches de la science et l ingénierie nous amène à étudier certaines de ces équations et les résoudre numériquement. La recherche des solutions par des méthodes numériques est d une nécessité importante par rapport au cadre théorique mis au point. Un théorème d existence ou l unicité ou les deux à la fois est certes d une utilité trés importante puisqu il renseigne sur des informations qui aident à guider à la recherche des solutions. Ce-pendant la solution explicite n est pas triviale même pour des équations intégrales qui paraissent simples. Dans ce mémoire, notre but est de résoudre numériquement des équations intégrales, et d analyser la convergence et l éstimation de l erreur. Le travail se compose en trois chapitres comme suit : Le premier chapitre aborde des notations sur les équations intégrales linéaire ou non linéaire et leurs classi cations, la relation entre les équations di¤érentielles et les équations intégrales. Ainsi, nous y exposons certaines méthodes de résolution exacte des équations intégrales non singulières. Au deuxième chapitre, on va expliquer quelques di nition de base et les méthodes de résolutions de certaines équations intégrales singulières, comme les équations intégrales singulières de Carleman, d Abel et de Cauchy de première et de deuxième espèce. Dans le troisième et dernier chapitre nous présentons divers méthodes de résolution numérique des équations intégrales, surtout d exhiber quelques méthodes d approximation et leurs applications, telles que : les méthodes de projection, de collocation, de Galerkin et de Nyström.