Régularisation des problèmes mal-posés

Abstract

La notion d un problème mathématique mal-posé a apparut dans les discussions du mathématicien français J. Hadamard dans son ouvrage "Lectures on Cauchy s Problem in Linear Partial Di¤erential Equations", après avoir introduit, une vingtaine d années avant la notion d un problème bien-posé qui doit satisfaire, d après lui, à trois propriétés : l existence, l unicité et la stabilité de la solution. La perte d une de propriétés dé nisse un problème dit mal-posé. Les méthodes générales de l analyse mathématique ont bien était adaptés pour les solutions des problèmes bien-posé, cependant, ce n était pas clair dans quel sens les problèmes mal- posés peuvent avoir solutions. Tikhonov est un de plusieurs mathématiciens qu a travaillé pour dévellopper la théorie et les méthodes pour résoudre les problèmes mal-posés. Il a pu donner une dé nition mathématique précise "des solutions approchées" pour des classes générales de ces problèmes. 0.0.1 Plan de la thèse Ce travail porte sur la régularisation des problèmes mal-posés, quand, pourquoi et comment on régularise un problème mal-posé ? Premier chapitre, est cansacré à l introduction des espaces de Hilbert des opérateurs et leurs propriétés (dé nitions, propositions, exemples,...). Deuxième chapitre, est resèrvé aux dé nitions, les types des problèmes inverses, caracté- risations des problèmes bien et mal-posés, et quelques exemples. Troisième chapitre, comporte les principaux des méthodes de régularisation des problèmes mal-posés (régularisation de Tikhonov).