Équations de Kolmogorov et ÉDP

Abstract

Je présente dans ce mémoire une classe de liens entre les équations di¤érentielle stochastique (ÉDS) et les équations aux dérivées partielles (ÉDP), qu ils sont appelés à leur inventeur c est le mathématicien Kolmogorov. En 1931, A. N. Kolmogorov a commencé à travailler avec les processus de Markov à temps continu, plus précisément, il a étudié leur densité de probabilité de transition. La même an- née, il introduisit des équations aux dérivées partielles très importantes. Ces équations sont connues sous les noms d équation de Kolmogorov progressive (ÉKP) et d équation de Kol- mogorov rétrograde (ÉKR). Les deux équations sont des équations aux dérivées partielles paraboliques de la fonction de densité de probabilité pour certains processus stochastiques. Cependant, le retour arrière est principalement utilisé dans le contexte des valeurs attendues. Les noms, progressive et rétrograde, viennent du fait que les équations sont des équations de di¤usion qui doivent être résolues dans une certaine direction, progressive ou rétrograde . Avec la connaissance que nous avons aujourd hui les ÉDS sont souvent di¢ ciles ou impossible à résoudre. Cependant, les mathématiciens et les physiciens ont travaillés sur les ÉDO et les ÉDP pendant des siécles, et à cause de cela nous avons beaucoup d outils pour les résoudre, c est là que les équations de Kolmogorov arrivent, qu ils pouvent en certains cas sont utilisés comme un pont d ÉDS à ÉDP, et grâce à ce pont la théorie des ÉDS peut béné¢ cier des outils dévelloppés dans la théorie des ÉDO et ÉDP. Non seulement les ÉDS béné ciement de ce pont, il y a aussi de nombreux cas où les ÉDO et ÉDP sont mieux regardé à partir d un point de vue stochastique. L approche probabiliste de certaines ÉDP permet d expri- mer leurs solutions sous la forme de l espérance d une certaine fonctionnelle d un processus stochastique, qui est solution d ÉDS. à partir de la formule d Itô. Dans notre travail on s intéresse à les solutions des ÉDS qu ils sont des processus Markoviens à valeurs dans Rn, qu on appelle les processus de di¤usion qui constituant la plus importante classe. Ce mémoire est composé de trois chapitres : Le premier chapitre est consacré aux notions im- portants pour l étude d une ÉDP il faut donc s assurer que les théoriés d étude classique, on s intéressera ici de revenir à l espace des fonctions tests et des distributions, puis la distribu- tion de Dirac, on dé nira aussi la transformé de Fourier (TF) et le produit de convolution, on donnera les principales propriétés du processus de Markov ainsi que celles des di¤usions d Itô, puis le semi groupe et le générateur qui lui est associé, dans le cas particulier où f 2 C2 0 (Rn) nous montrera que ce générateur est un opérateur di¤érentiel du second ordre. On abordera en n la formule de Dynkin. Dans le deuxième chapitre, on donnera un brève historique de Kolmogorov ainsi que une dé nition générale de l ÉDP, ensuit, des théorèmes sur l ÉKR et l ÉKP et leurs preuves. Le troisième chapitre s agit d applications sur les équations de Kolmogorov. On montrera que la solution de celle donne des informations sur la solution de l ÉDS. On terminera ce chapitre en énonçant le lien entre la formule de Black-Scholes et l ÉKR.