Processus de Lévy et l Equation Différentielle Stochastique

Abstract

Un processus stochastique est un phénomène qui évolue dans le temps de manière aléatoire. La nature, la vie quotidienne et la science nous donnent beaucoup d exemples divers de ce genre de phénomène, ou en tout cas des phénomènes qui peuvent être compris de cette façon-là : quelque chose qui bouge aléatoirement avec le temps. En nances, la valeur instantanée d un actif obéit à ce schéma-ci, la population d une ville, le nombre de personnes dans une le d attente ou dans un bus et la position d une particule de pollen dans un uide, sont des exemples de processus stochastiques. Ce dernier fut étudié pour la première fois par le botaniste Robert Brown en 1827 et reçoit le nom de mouvement Brownien. Il joue un rôle fondamental dans la théorie des processus aléatoires et l équation di¤érentielle stochastique est l un des objets principaux du calcul stochastique. Elle représente un outil puissant dans la science, mathématiques, l économie et la nance...etc. Les processus de Lévy ont des nombreuses propriétés intéressantes et constituent un do- maine d étude en plein développement. Sur le plan de modélisation nancière, les processus de Lévy fournissent une classe de modèles avec sauts qui est à la fois su¢ samment riche pour bien décrire les données empiriques et assez simple pour faire beaucoup de calculs analytiquement Ce mémoire est principalement constituée trois chapitres : Dans le premier chapitre, on donner des dé nitions d un processus stochastique puis de dé nition d un processus de Lévy et ses propriétés. et quelques exemples, Le deuxième chapitre est consacré à l étude des calculs stochastiques qui sont l inté- grale stochastique, le processus d Itô, la formule d Itô et la formule d Itô avec saut. Dans le dernier chapitre, nous allons présenter un exemple d utilisation pour le proces- sus de Lévy qui sont le but de notre étude qui est les équations di¤érentielles stochastiques et on va étudier la théoréme d existence et de l unicité fort de leur solution, nallement on donne quelques exemples sur des équations di¤érentielles stochastique avec saut.