Calcul d Itô et Applications

Abstract

Encommençantparquelquesexemplesdemotivation: Croissanceexponentielledansunenvironnementdéterministe(constant): Soit Yt ladensitédelapopulationautemps t. Onl associel équationdel évolutionsuivante dYt dt = cYt; où c 2 R (constante)estlacroissancedémographiquerelative. A ndecomprendremieuxlemodel, Pourobtenirunmodèleplusréaliste,onlaisse c varieravecletemps.Parexemple,sinous voulonsmodéliserunesituationavecunenvironnementbruyantimprévisiblechangeant, nousobtenonslemodèlesuivant: Croissanceexponentielledansunenvironementbruyant: Heuristiquement,ladensité Yt véri emaintenantl équation dYt dt = ( + "bruit")Yt; avec"bruit"=" dWt dt " où W estun mouvementBrownianstandard et et sontdes constantesdonnées.Uneinterprétationmathématiquementrigoureusedecetteéquation estque Yt satisfaitcequ onappelleune équationdi¤érentiellestochastique (EDS)detype Itôsuivant: dYt = Ytdt + YtdWt: DanslemodèledemarchéclassiqueBlack-Scholes,leprix St aumoment t del actifrisqué (parexemple,lestock)estreprésentéparlasolutiond une(EDS)delaforme: dSt = St( dt + dWt); S0 > 0; où (ledrift)et 6= 0 (lavolatilité)sontdesconstanteset Wt = W(t; !); (t; !) 2 [0;1)

estun mouvementBrownienstandard. Onvavoirparlaformuled Itôquelasolutionsatisfait uneEDS St = S0 exp

Wt +

􀀀 1 2 2

t

; t 0: Enplusdel actifrisquédeprix St, noussupposonsquelemarchédisposed unactifsans risque(parexemple,uneobligation)avecunprix Bt = exp(rt); t 0; (1) où r estletauxd intérêtsansrisque(poursimplicité,onsupposequ ilestconstant). Danscetravaille,ons intéresseauxpointssuivants: Lemarchéest-ilexemptd arbitrage? Lemarchéest-ilcomplet? Silaréponseauxdeuxpremièresquestionsci-dessusestoui,nouspouvonségalement demander: Quelestleprixd uneoptioneuropéennesurcemarché? Existe-t-iluneformuledeBlack-Scholes? Avantplusqu unedizainededécades, L.Bachelier a donnénaissanced unenouvelle structuredemodélisationenintroduisantunnouveaumembreauxéquationsdes stocks ( ditleterme Brownienen1904), cequiétaitconsidéréerévolutionnaireàl époque pourbeaucoupdesobservateurs(mathématiciens,économistesouphysiciens...etc.).Puisles années40 stémoignaientladémonstrationd uneformulemathématique(dite formuled Itô) par K.Itô quifacilitaitetpermettaitdeprolongerlathéoriedesprocessusstochastiquesvers diversdomainesd études,cetravailn estqu unmodesteessaidefairesimulerune.Cetravail prendlaformedetroischapitresdépendants: Lepremierchapitretraitelanotiond intégralestochastique, qu oncommenceparlaconstruire, puisciterquelquespropriétésimportantesetutiles(l isométried Itô,lethéorèmedeGirsa- novetlethéorèmedereprésentation). Ledeuxièmechapitreestuneextensiondupremier,danslequelonintroduit leséquations di¤érentiellesstochastiques(notéesEDS), puisparcourtquelquesexemplesdesfameuxEDS avecleurssolutionsexplicitesetonletermineparunthéorèmefondamentald existenceet d unicitédetellessolutionsdesEDS. Finalement,letroisièmechapitreutiliseceuxquiprécèdentpourfaireappliquer lecalculd Itô auxdeuxexemplesimportants: 1. Dynamiquedespopulations:lemodèleexponentieldéterministe,modèlelogistique, puisunmodèlededynamiquedansunenvironnementbondéstochastique. 2. Lemodèlede Black-Scholes : onintroduitdesterminologies nancièresnécessaires,puis onutiliselesdiversélémentsintroduitsdansleschapitresprécédents,pourévaluerles prixdesoptionseuropéennesdansunmarché nancierde Black-Scholes. Lelecteurestsupposéd avoirdesconnaissances nanciéresetdelathéoriedelamesureet l intégrationbasiques.