Principe du Maximum Stochastiques avec Information Partielle

Abstract

Dans ce travail, notre objectif est d obtenir un principe du maximum stochastique pour un système gouverné par équation di¤érentielle stochastique avec information partielle. Ce genre de problème qui a des applications potentielles en nance mathématique et économie mathématique. On cosidère un problème de contrôle stochastique, où le système gouverné par une équation di¤érentielle stochastique contrôlé de la forme suivante : 8>>>>>>< >>>>>>: dX (t) = b (t;X (t) ; u (t)) dt + (t;X (t) ; u (t)) dB (t) + Z Rn

(t;X (t) ; u (t) ; z) ~N (dt; dz) ; 0 t T; X (0) = x 2 Rn: Où les fonctions b; ; sont des fonctions données, et B (t) = (B1 (t) ; :::;Bk (t))T et (t) = ( 1 (t) ; :::; n (t))T sont des mouvements Browniens n-dimensionnel. Le contrôle u(t) est un processus (Gt)t2[0;T ] -adaptée à valeurs dans un ensemble U Rk; Gt Ft; ; pour tout t: (1) Soit A = AG une famille de processus u (t) de contrôle Gt-adapté tels que : u (t) = u (t; !) : [0; T] 7􀀀! U: La fonction de coût à maximiser, sur l ensemble des contrôles admissible U; à la forme suivant : J (u) = E 2 4 ZT 0 f (t;X (t) ; u (t)) dt + g (X (T)) 3 5; u 2 A; (2) où f et g sont des fonctions de classe C1 véri ent la condition suivante : E 2 4 ZT 0 jf (t;X (t) ; u (t))j dt + jg (X (T))j 3 5 < 1; u 2 A: (3) et X (t) est la trajéctoire du systemème contrôlé par u (t) : Le problème du contrôle partiel avec information est de trouver G, et u 2 A tels que : G = sup u2A J (u) = J (u ) : (4) Nous soulignons qu en raison de la nature générale de la ltration partielle de l information Gt, nous ne pouvons pas utiliser la programmation dynamique et les équations Hamilton- Jacobi-Bellman (HJB) pour résoudre le problème. Ainsi, notre problème doit être distingué de partiel problèmes de contrôle d observation. Pour de tels problèmes, il existe déjà une littérature riche et des versions d un principe du maximum correspondant ont été développées par de nombreux auteurs. Le suite de ce travail est organisée de la manière suivante : Le premier est un chapitre introductif permettant d ntroduire les outils essentiels pour le reste des chapitres. Nous commencons par des généralités sur les processus stochastique, es- pérance conditionnelles et leurs propriétés ainsi que les mouvements Browniens et martingale stochastique et l equation di¤érentielle stochastique. Dans le deuxième chapitre nous allons présenter le corps principal de ce mémoire. Nous allons étudier les conditions nécessaires et su¢ santes d optimalité avec information partielle véri ées par un contrôle optimal donné. Et dans le dernier chapitre nous donnons une application de ce type de système en mathi- matique nance.