Lien entre principe du maximum stochastique et principe de la programmation dynamique aux sens de viscosité

Abstract

Les problémes de contrôle optimal stochastique ont un grand nombre d applica- tions dans les domaines de l économie et à la nance. Il existe deux approches de résolution du probléme de contrôle optimal, bien connues, qui sont le principe du maxi- mum et la méthode de la programmation dynamique. Un probléme de contrôle optimal stochastique dé ni comme suit : On considère l équation di¤érentielle stochastique suivante : 8>< >: dxt = b(t; xt; ut)dt + (t; xt; ut)dBt t 2 [0; T] x0 = x ; avec (Bt)t 0 unmouvement Brownien dé ni sur un espace probabilisé ltré 􀀀

;F; (Ft)t 0 ; P

: On note U l ensemble de tous les processus (ut)t 0 progressivement mesurable à valeurs dans Rn; et les éléments de U sont appelés processus de contrôle. L objet du contrôle optimal est de minimiser (ou maximiser) la fonction de coût J (:) sur l ensemble des contrôles admissibles, généralement cette fonction coût est donné par : J (u) = E hR T 0 f (t; xt; ut) dt + g (xT ) i : Si en partant d un état x à l instant t on dé nit pour tout processus de contrôle ut, le coût est donné par : J (t; x; u) = E hR T t f (s; xs; us) ds + g (xT ) i ; où g et f sont donnés et xt est la trajectoire contrôlée par u: Pour chaque x 2 Rn, s il existe un contrôle u 2 U qui véri e : v (t; x) = J (t; x; u ) = inf u2U J (t; x; u) ; il est appelé contrôle optimal et v est appelée la fonction de valeur. Dans ce mémoire nous intéressons d étudier la relation entre deux approches de réso- lution du problème de contrôle optimal, qui sont le principe du maximum stochastique, et la méthode de la programmation dynamique dans le contexet de solutions de viscosité. Ce mémoire est structuré de trois chapitres : Dans le premier chapitre, on va expliquer la théorie du calcul stochastique, en donnant les dé nitions et les propriétés des processus continue ainsi que leurs résultats principaux qui nous permettre de dé nir l intégrale stochastique. On parle aussi sur les théorèmes d existence et d unicité pour EDS. Dans le deuxième chapitre on va étudier le problème du contrôle optimal par le principe du maximum stochastique (condition nécessaire ). Dans le dernière chapitre on va expliquer deuxieme approche, la progrmmation dy- namique et de la notion de solution de viscosité, puis on donne la relation entre les deux approches.