L existence des équations différentilles stochastiques rétrogrades monotones

Abstract

La théorie des équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades (EDSR en abrégé), en anglais (BSDE), a connu un formidable développement à partir des années 1990. Ces équations ont été introduites dans BISMUT.J [10] pour la première fois en 1973 dans le cas lineaire. Le premier résultat dans le cas général a été publié en 1990 par S.peng et E.Pardoux [11], résoudre une EDSR revient à déterminer un couple de processus noté (Yt;Zt)t 0 qui ne dépend que l information connue jusqu à l instant t c est à dire, on dit que les processus sont adaptés à la ltration Brownienne, et qui véri e une équation de la forme suivante : Yt = + Z T t f (s; Ys;Zs) ds 􀀀 Z T t ZsdWs; t 2 [0; T] avec W est un mouvement Brownien dé nie sur un espace de probabilité ( ;F; P) et la condition terminal Yt = : Dans ce mémoire je suit étudie les EDSR monotone, j ai de prouver le résultats d exis- tence et d unicité d une solution dans le cas où le générateur est monotone. Notre travail est structuré en trois chapitres : Le premier chapitre est un chapitre introductif où on a présenté quelques notions de calcul stochastique, en donnant les dé nitions et les propriétés des processus continues ainsi que leurs résultats principaux ( processus stochastiques, mouvement brownien, martingales ...) qui sont nécessaires pour la suite de tout ce mémoire . Dans le deuxième chapitre je donne la dé nition d une EDSR, je aller montrer un premier résultat d existence et d unicité de la solution d une EDSR, c est le premier résultat d existence et d unicité pour les équations di¤érentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) dans le cas lipschitiziennes. Le troisième chapitre est étudie le théorème d existence et d unicité de la solution des EDSR dans le cas monotone, on utilise dans la démonstration de ce théorème la méthode du point xe. On dé nit une suite de fonction hn par produit de convolution telle que la fonction h est véri e l hypothèse de monotonie et pour cela je utidie les propriétés de hn d après on applique le théorème de Pardoux-Peng pour obtenir une unique solution (Y n;Zn) de l EDSR Y n t = + Z T t hn(s; Y n s )ds 􀀀 Z T t Zn s dWs; 8t 2 [0; T] : La suite (Y n;Zn) est une suite de cauchy dans espace de banach qui converge vers la solution (Y;Z) de l EDSR Yt = + Z T t f (s; Ys; Vs) ds 􀀀 Z T t Zsdws; 8t 2 [0; T]