Théorie des Semi-martingales

Abstract

K. Itô a inventé son fameux calcul stochastique sur le mouvement Brownien dans les années 40. Dans la même période, J.L. Doob a developpé une théorie des martin- gales et les processus stochastiques associé à une famille croissante de -algèbres d évenements (Ft), où Ft désigné l information disponible jusqu au temps t. Dans les années 60 et 70 "l école de strasbourg", à sa tête P.A. Meyer, a développé une théorie moderne des martingales, la théorie générale des processus stochastiques et le calcul stochastique sur les semi-martingales. Il s avère aprés que les semi-martingales constituent une large classe d intégrateurs adaptés et continus à droite par rapport à lesquelles les intégrales stochastiques d intégrands simples prévisibles satisfont le théorème de la convergence dominée en probabilité. Le calcul stochas- tique sur les semi-martingales est devenu non seulemnt un outil important pour la théorie moderne des probabilités et les processus stochastiques, mais aussi a de grandes applications à plusieurs branches des mathématiques ( par exemple les équations aux dérivées partielles, geométrie di¤érentielle, contrôle stochastique), Physique, mathématique nancière et dans d autres domaines dans lesquels les structures dynamiques aléatoires sont impliquées. Ce mémoire donne une vue d ensemble concise et détaillée sur la théorie des semi- martingales et le calcul stochastique. Dans le chapitre 1, on présente les principaux résultats sur la théorie des processus stochastiques et la théorie des martingales. dans le chapitre 2, on introduit la théorie des semi-martingales et l intégrale stochastique pour les martingales locales et les semi-martingales, pour des intégrands des processus prévisibles et croissants. On présente la formule d Itô, la formule de Tanaka et des résultats généraux sur l existence et l unicité des solutions pour une équation di¤érentielle stochastqiue dirigée par une semi- martingale.