Statistiques des Extrêmes sous Données Censurés

Abstract

La théorie des valeurs extrêmes (EV T : Extremes Value Theory) est une branche de la statistique qui essaie d amener une solution face à des événements rares ; c est-à-dire des événements dont la probabilité d apparition est très faible. Les valeurs extrêmes sont aussi rares soient-elle, puisque il s agit des valeurs beaucoup plus grandes ou plus petites que celles observés habituellement. Cette théorie se repose principalement sur des distributions limites des extrêmes et leurs domaines d attraction. Tout a commencé avec les auteurs Ficher et Tippet (1928) [11] puis plus tard avec Gnedenko (1943) [12]. Dans l analyse de survie, les données sont caractérisées par l existence d observation in- complète. Ces données sont souvent recueillies partiellement à cause d un processus de censure, qui empêche l observation exacte du délai de survenue de l évènement d intérêt. Les données censurées proviennent du fait qu on n a pas accès à toute l information. Au cours des dernières années, la modélisation des valeurs extrêmes pour des données censurées a béné cié d une certaine attention. Elle voit le jour en premier fois en (1997) avec la sortie du livre Reiss et Thomas [21]. En (2007), Beirlant et al [2], introduit un estimateur de l indice des valeurs extrêmes à la présence censure, l étude a continué jusqu en (2008), par Einmahl et al [9]. Ce sujet est appliqué à une grande variété de domaines : La médecine (malades cancé- reux), biologie (la mort d organismes biologiques), climatologie (température), hydrologie (hauteur des barrages) et physique (avec l apparition de la théorie de la abilité), etc.L objectif principal de ce travail est l estimation des statistiques des extrêmes : la fonction de survie, l indice des valeurs extrêmes et les quantiles extrêmes, sous données censurées. Ce mémoire est composé de deux chapitres. Dans le premier, on présente tout d abord les principaux dé nitions et concepts de base de l EVT. Après avoir introduit la distribution du maximum d un échantillon, on présente les deux principaux outils servant à modéliser la distribution des valeurs extrêmes : la distribution des valeurs extrêmes généralisées (GEV ) et la distribution de Pareto généralisé (GPD). Ensuite, on rappelle la caractérisation des domaines d attraction. La dernière section est dédiée aux fondamentales notions de l analyse de la survie. Dans le deuxième, on regroupe deux parties. Dans la première partie : on présente les di¤érentes statistiques des extrêmes et leurs estimateurs dans le cas des données complètes et censurées. On commence par l estimateur de l indice des valeurs extrêmes : estimateur paramétrique (estimateur de maximum de vraisemblance), estimateur semi-paramétrique (estimateur de Hill et celui de Pickands) dans la cas des données complètes et l estimateur de Hill adapté sous des données censurées. Ensuite, on présente l estimation de la fonction de survie sous données complètes : distribution à variation nie et distribution à queue lourde et l estimateur de Kaplan-Meier qui est le plus couramment utilisé sous des données censurés. Dans la troisième section, on présente l estimation des quantiles extrêmes. La deuxième partie est consacrée à l application des principaux résultats obtenus dans la première partie de ce chapitre, sur des données simulées, sous le logiciel R.