Loi de Pareto et Applications

Abstract

Un point de départ logique pour discuter de la loi de Pareto est le manuel d économie de Vilfedro Pareto publié à Rome en 1897 , dont il a découvert la distribution qui porte maintenant son nom en étudient la répartition des revenus des familles en Suisse, il était observé qu il y a plus de familles avec un bas revenu que de familles avec un revenu élevé et l analyse de cette idée a rapidement sert à introduisant une famille très exible a distri- bution à queue lourde qui peuvent être utilisées pour modéliser la distribution de revenu, cette famille de distribution de Pareto (distribution à queue lourde) basé sur le type et le nombre de paramètre qui caractérise chaque famille. Historiquement, il y a plus de cent ans, Vilfédro Pareto a observé que le nombre de per- sonnes dans une population dont des revenus dépassent un niveau x est souvent bien rappro- ché par : Cx􀀀 , pour un certain C réel et un certain paramètre positif. L accumulation de l expérience a rapidement indiqué le fait que c est seulement dans la queue supérieure des distributions de revenu que l on peut s attendre le comportement de Pareto. En fait, "la loi" de Pareto est bientôt devenue moins de contrainte (plus croyable). Les distribu- tions de Pareto et leurs relations proches fournissent vraiment une famille très exible de distributions à queues lourdes qui peuvent être utilisées pour modéliser la distribution de revenu aussi bien qu une grande diversité d autres distributions sociales et économiques de plus le modèle proposé par Pareto a soulevé trois séries de débats, le premier est relatif au domaine d application et de validité du modèle ; le deuxième de nature théorique, porte sur l explication des phénomènes qui paraissent dégager les conditions de génération d une distribution appartienne au même titre que certaines lois connues comme la loi normale et le troisième thème moins discuté touche à l interprétation des paramètres de la distri- bution de Pareto et notamment le sens du paramètre qu il dépendait à des changements des population et des changements dans la dé nition du revenu utilisée pour calculer la distribution, la bataille ou bien le débat a oscillé pendant 40-50 ans. Shirras (Shirras, G.F. (1935 ) Econ. J., 45 , 663 􀀀 681 .), l un des critiques les plus virulents de la loi de Pareto, a soutenu que lorsqu il a calculé le revenu en rondins en fonction du logarithme de la fonction de survie à l aide des données sur le revenu des Indiens « les points ne se situaient même pas approximativement sur une ligne droite » comme le prévoyait la loi de Pareto. La con guration des points est en e¤et légèrement parabolique, mais la déviation de la linéarité n est pas aussi pénible pour la plupart qu elle l était pour Shirras. Beaucoup de modèles proposés pour des répartitions des revenus cherchent à exposer un tel principe. Les adhérents de modèles log normaux se rapporteraient aux e¤ets multiplicatifs et rendraient visite au théorème de centrale limite appliqué aux logarithmes des valeurs observées. Les enthousiastes de distribution stables indiqueront que, si nous supprimons la supposition de deuxièmes moments nis, les arguments qui indiquent vers une distribution normale indiquent en réalité vers des distributions stables. Ces distributions stables ont des queues Pareto lourdes. Les défenseurs de la distribution de Pareto et de ses proches adoptent souvent une position empirique. Ils ont vu de nombreux ensembles de données, et la distribution de Pareto indéniablement convient remarquablement bien aux queues supérieures. Pour renforcer davantage leur position, ils soutiennent que les formes de ré- partition du revenu et de la richesse semblent invariantes en raison des changements de dé nition du revenu, des changements dus à l impôt, etc, et qu elles ne sont pas sensibles au choix de mesurer le revenu individuel ou familial ou le revenu par membre du ménage de l unité. Les variantes des distributions Pareto (ou Pareto-type) peuvent être montrées pour présenter de telles propriétés d invariance. En n, il peut être démontré que plusieurs modèles stochastiques de systèmes économiques conduisent à des distributions de richesse et/ou de revenus semblables à celles de Pareto. Cette loi issue du domaine économique, a eu le succès que l on sait et sera porté dans de très nombreux domaines. Dans le but de plus expliqué les énoncés ci-dessous nous présen- tons ce mémoire composé de trois chapitres comme suit : Le premier chapitre présente une caractérisation des familles de la loi de Pareto. Dans le deuxième chapitre nous exposons les propriétés de cette loi puis l estimation des paramètres d une famille choisie, par deux méthodes (maximum de vraisemblance, intervalle de con ance). Le dernier chapitre pré- sente certaines applications de la loi de Pareto dans des déférentes domaines théoriques et réelles avec des simulations sous logiciel R. Ce travail se termine par une conclusion générale.