Théorie de Bifurcations et Applications

Abstract

Les systèmes dynamiques désignent couramment la branche de recherche active des mathématiques, à la frontière de la topologie, de l analyse, de la géométrie, de la théorie de la mesure et des probabilités, et qui s e¤orce d étudier les propriétés d un système dynamique. La nature de cette étude di¤ère suivant le système dynamique étudié, nature qui dépend des outils utilisés (analytiques, géométriques ou probabilistes). Ainsi historiquement, les premières questions relevant des systèmes dynamiques concer- naient la mécanique à une époque où elle était incluse dans l enseignement des mathéma- tiques. Une des questions majeures qui a motivé la recherche mathématique est le problème de la stabilité du système solaire.[8] Les systèmes dynamiques ont été développés au XIXe siècle par le mathématicien physi- cien français Henri Poincaré. Ainsi qu au le mathématicien russe Aleksandr Lyapunov a e¤ectuaient des recherches sur la stabilité du mouvement. Le but de la théorie des sys- tèmes dynamiques avait initialement pour objet l étude du comportement qualitatif des trajectoires d un champ de vecteurs. Pour élaborer un modèle il faut tout d abord dé nir quelles sont les valeurs qui évoluent dans le temps, les états du système. Ensuite, nous intéressons à l évolution des systèmes dynamiques décrits par des équations aux di¤érences (par une récurrence). Certains modèles des processus dynamiques contenaient un ou plusieurs paramètres, ce- pendant le changement des paramètres pouvait entraîner des changements qualitatifs et quantitatifs de ses propriétés, ce phénomène est appelé souvent bifurcation[11]. Notre mémoire est composée de trois chapitres : Dans le premier chapitre, on introduit les dé nitions des systèmes dynamiques et ses propriétés, puis on présente la classi cation et la stabilité des points d équilibre en passent par les cycles limites. Le deuxième chapitre, sera consacré à la théorie de la bifurcation, où on introduit deux types de bifurcations, et on présente leurs diagrammes de bifurcation. Le troisième chapitre présente une application sur la bifurcation de Hopf dans le système optique hybride