Systèmes dynamiques discrets

Abstract

Historiquement, les premières questions relevant des systèmes dynamiques concernaient la mécanique à une époque où elle était incluse dans l enseignement des mathématiques. Une des questions majeures qui ont motivé la recherche mathématique est le problème de la stabilité du système solaire. Les travaux de Lagrange sur le sujet consistèrent à interpréter l in uence des corps autres que le Soleil sur une planète comme une succession de chocs in nitésimaux : ces travaux retrouvent des échos dans le théorème KAM (Kolmogorov - Arnold - Moser). Les systèmes dynamiques se sont développés et spécialisés au cours du xixe siècle. Ils concernaient en premier lieu l itération des applications continues et la stabilité des équa- tions di¤érentielles. Mais progressivement, au fur et à mesure de la diversi cation des mathématiques, les systèmes dynamiques se sont considérablement élargis. Depuis 1920 jusqu à présent les systèmes dynamiques (surtout les systèmes dynamiques en temps discret ou bien les systèmes donnés par des suites récurrentes) jouent un rôle très important puisque il y a des applications dans beaucoup de disciplines scienti ques par exemple : La physique (mécanique céleste, météo), la biologie (dynamique de popu- lation), la chimie (cinétique chimique) , l électronique (les circuits électroniques) , l in- formatique (traitement de l images) , cryptographie (chi¤rement des messages, images) , l économie,. . . , etc. Les systèmes dynamiques sont les notions mathématiques qui permettent de modéliser des phénomènes évoluant dans le temps, ces phénomènes pouvant provenir de la physique, la mécanique, l économie, la biologie, l écologie, la chimie... On distingue deux types de systèmes dynamiques : les systèmes à temps continu et les systèmes à temps discret. Le système dynamique discret a une grande importance pratique, il peut également être utilisé comme modèle approximatif pour l étude de système continu. Dans ce mémoire, nous allons étudier le système dynamique discret autonome d ordre 1, où nous nous sommes concentrés sur l étude de la stabilité en raison de son importance. Nous avons divisé le mémoire en deux chapitres. Le premier chapitre de ce mémoire est consacré à l analyse de l évolution de variable d état d un système dynamique du premier ordre autonomes unidimensionnel. Ce chapitre est divisé en trois parties : -Dans la première partie de ce chapitre nous donnons des dé nitions mathématiques aux systémes dynamiques continus et discrets. Et quelques concepts de systèmes dynamiques discret : itération,orbite(trajectoire),répresentation graphique de la trajectoire. -Dans la deuxième partie du chapitre nous nous concentrons sur le système dynamique discret linéaire unidimensionnel. Nous donnons la formule de la solution de ce système et on donne la dé nition de point xe et de stabilité, ensuite nous cherchons des facteurs qui déterminent l existence, l unicité et la stabilité d un point xe de ce système. -Dans la troisième partie du chapitre nous avons utilisé certaines théories pour étudier la stabilité de point xe d un système non linéaire autonome unidimensionnel, nous avons également utilisé le système linéaire pour étudier la stabilité de point xe hyperbolique et dans le cas au le point xe est non hyperbolique nous utilisons autres théorèmes. Le deuxième chapitre de ce mémoire est consacré pour étudier le système dynamique discret autonome multidimensionnel. -Dans la première partie du ce chapitre on étude le système linéaire multidimensionnel, on cherche de solution de ce système, on dé nit le point xe dans le cas multidimensionnel et on trouve sa formule en utilise les propriétés des matrices, ensuite on dé nit la stabilité dans le cas multidimensionnel et on utilisons la forme de Jordan pour étudier la stabilité.-Dans la deuxième partie du chapitre nous nous intéressons à le système non linéaire multidimensionnel, on va étudier la stabilité de ce système à l aide de système linéaire multidimensionnel et à l aide d une fonction de Lyapunov.