C0-semi-groupe et leurs applications.

Abstract

Compte tenu de la remarque simple que la fonction exponentielle réalise, en autre, l isomorphisme fondamental algébrique et topologique entre le groupe topologique additif des nombres réels et le groupe topologique multiplicatif des nombres réels strictement positifs,on peut constater que la fonction t 7􀀀! eta; a 2 R, est une solution réele continue de l équation fonctionnelle de Cauchy f(t+s) = f(t)f(s) avec la condition f(0) = 1. Cette équation a été traité par plusieurs mathématiciens comme avec Cauchy même. D autre part, il est évidemment que la fonction exponentielle t 7􀀀! eta est la solution unique sur R de l équation di¤érentielle x0 = ax avec la condition initiale x(0) = 1. L importance des fonctions exponentielles a connu une grande croissance aprés l année 1888, quand le grand mathématicien Giuseppe Peano a eu l inspiration un développement la solution du probléme de Cauchy vectoriel 8>< >: x0 = Ax x (0) = I; où A est une matrice quadratique, sous la forme t 7􀀀! etA = 1X n=0 tnAn n! : Ce résultat a été étendu aux équations di¤érentielles opératorielles X0 = AX, où A est un opérateur linéaire borné dans un espace de Banach X, qui a pour solution fondamentale la fonction exponentielle t 7􀀀! etA;A 2 B(X). Ces extensions de la fonction exponen- tielle admettent un modéle général dans le cadre des algébres de Banach abstraites. Plus précisément, si B est une algébre de Banach avec l unité I et a 2 B, alors la fonction R t 7􀀀! eta 2 B eta = 1X n=0 tnan n! ; est dérivable et elle est l unique solution du probléme de Cauchy 8>< >: x0 = ax x (0) = I Compte tenu de l unicité des solutions du probléme de Cauchy, il en résulte que la fonction f(t) = eta satisfait sur R à l équation fonctionnelle de Cauchy. Le probléme reciproque du savoir si les solutions de l équation fonctionnelle de Cauchy sont des solutions pour les équations di¤érentielles linéaires de premier ordre x0 = ax, s est avéré être plus d¢ cile, mais il a été résolu par Nathan et Yosida . Donc la double caractérisation de la fonction ex- ponentielle par l équation fonctionnelle de Cauchy et par l équation di¤érentielle linéeaire de premier ordre a été établie pour le cas généeral des algébres de Banach abstraites. Ces caractérisations importantes ont sugéré l idée d étudier les équations di¤érentielles linéaires du premier ordre par des extensions adéquates de la fonction exponentielle. De cette maniére est apparu la nécessité de considérer les équations di¤érentielles vectorielles de premier ordre x0 = Ax où A n est pas un opérateur de l algébre de Banach des opé- rateurs linéaires bornés B(X), mais un opérateur linéaire non-borné dans un espace de Banach X . La dé nition d une fonction exponentielle comme une solution de cette équa- tion a été realisée par l introduction des semi-groupes de classe C0. Mais, dans ce cas-là, l équation fonctionnelle de Cauchy se référe aux fonctions [0;1[ t 7􀀀! T (t) 2 B (X) ; avec T(0) = I, satisfaisant la relation T(t+s) = T(t)T(s) et qui sont fortement continues,c est- à-dire ayant la propriété lim t!0 T (t) x = x pour tout x 2 X: Aprés ce bref historique sur les C0-semi-groupe, ce mémoire est constitué de trois cha- pitres. Dans le premier chapitre nous présentons une foule de dé nitions, propositions et également quelque théorèmes sans recourir aux démonstrations. Dans le second chapitre, nous preposons deux théorèmes le premièr est celui de Hille-Yosida quand au le deuxième de Lumer-Philips en mettant leurs preuves en valeur. En dé¢ nitive, nous exposons dans le dernier chapitre le problème de cauchy abstrait qui utilisé pour étudier l unicité et existence de la solution.