Sur l existence et la stabilité des cycles limites

Abstract

Dans ce mémoire, on s intèresse à un aspect important de la théorie qualitative des sys- tèmes di¤érentiels planaires, à savoir les cycles limites. Il s agit de solutions périodiques isolées dans l ensemble de toutes les solutions périodiques d un système di¤érentiel au- tonome plan donné. Ils sont représentés dans le plan de phase par des courbes fermées simples et lisses. Les autres solutions se rapprochent des cycles limites ou s en éloignent asymptotiquement lorsque le temps croit indé niment, il s agit là de stabilité ou d insta- bilité des cycles limites. Le concept de cycles limites parait pour la première fois dans les fameux articles de Poincaré (1881; 1882; 1885; 1886). Puis au début du 20ème siècle, dans le 2ème congrès international de Mathématiques en 1900 à Paris, David Hilbert a présenté son célèbre exposé intitulé "Problèmes Mathématiques". La 16ème de ses 23 problèmes s était de déterminer le nombre maximal de cycles limites existants pour le système di¤érentiel suivant : 8 >< >: d x dt = Pn(x; y) dy dt = Qn(x; y) où Pn et Qn sont des polynômes de degré n. Pour l existence et l absence des cycles limites, ils existent quelques anciens résultats large- ment appliqués, tels que le théorème de Poincaré-Bendixson, le critère de Bendixson et le critère de Dulac. Mais pour le problème d unicité, la situation est plus compliquée et demande beaucoup plus d estimation exacte. Ce travail est organisé de la manière suivante : Chapitre 1 : Comporte quelques notions préliminaires des systèmes di¤érentiels, intro- ductives et nécessaires à la compréhension de l ensemble de ce travail. On commence par dé nir les systèmes dynamiques, la notion de ot, les points d équilibre, la linéarisation des systèmes di¤érentiels non linéaires au voisinage des points d équilibres, le portrait de phase, les solutions périodiques et leurs stabilités, et les ensembles limites. Chapitre 2 : Nous proposons quelques résultats d éxistence et l absence des cycles limites dans R2. Puis nous avons étudié la stabilité des cycles limites, comme nous pré- sentons quelques généralisations de résultats connus en dimension deux à la dimension n, en utilisant les résultats théorique de R.A.Smith et en ajoutant des hypothèses sup- plémentaires. Il s agit des généralisations des théories de Poincaré et Bendixson, nous terminons ce chapitre par une application dans R3: