Stabilité Structurelle

Abstract

le savant n étudie pas la nature parce que cela est utile, il l étudie parce qu il y prend plaisir et il y prend plaisir parce qu elle est belle. Si la nature n était pas belle, elle ne voudrait pas la peine d être connue, la vie ne vaudrait pas la peine d être vécue... H. Poincaré_ Science et Méthode _ On dit que la trajectoire d un point mobile est stable, lorsque, décrivant autour d un point de départ un cercle ou une sphére de rayon r, le point mobile, après être sorti de ce cercle ou de cette sphére, y rentrera une in nité de fois, et cela, quelque petit que soit r.Elle sera instable si, aprés être sorti de ce cercle ou de cette sphére, le point mobile n y rentre plus. La notion de stabilité structurelle a été dégagée des études sur les systèmes di¤érentieles non linéaires commencées aux environs de 1880 par Henri Poincaré, reprises vers 1920 par Van Der Pol. Pour les système linéaire, une théorie générale était possible, il n en n était plus ainsi pour les systémes non linéaires. Aussi s est-on proposé le problème suivant : dégager une classe aussi large que possible de système non linéaire considérés comme intéressants pour laquelle une théorie générale est possible et justi er l application de la théorie qualitative des systèmes dynamiques à l analyse de systèmes physiques concrets. L idée d une telle analyse qualitative remonte au travaux d Andronov-Pontrjagin... a étudié de manière rigoureuse la stabilité de petites perturbations d un système donné Dans ce mémoire nous donnons un concept simple et direct sur stabilité structurelle, c est trouver des critères simples permettant de caractériser les systèmes structurellement stables en deux dimension. Ce travail se compose de deux chapitres : Chapitre 1 : Généralité sur les systèmes dynamiques Dans ce chapitre on présente d abord une introduction de système dynamique, en suite on propose les di¤érents type d attracteurs, et on termine par la notion de stabilité. Chapitre 2 : Stabilité structurelle Dans ce chapitre on présente d abord, quelques dé nitions, en suite on propose stabilité structurelle dans R2, en n des conditions nécessaires de stabilité structurelle.