Transformée de Legendre et Ses Applications

Abstract

Dans de nombreuses applications, il est nécessaire de résoudre un problème d optimisation, c est- à-dire de trouver la valeur minimale ou maximale d une fonction peut prendre à condition que certaines conditions soient remplies. La notion est d une importance capitale dans l analyse convexe et l optimisation est la notion de la dualité «conjugué» , et en particulier celle de la dualité de Fenchel. La méthode de dualité est l une des techniques d optimisation les plus importantes et les plus utilisées. Elle consiste à rattacher à un problème initial d optimisation d un problème dit dual dont la valeur objective optimale est inférieure ou égale à la valeur objective optimale du problème initial. Le conjugué a un impact signi catif dans de nombreux domaines. Il joue un rôle essentiel dans l élaboration de la théorie et des méthodes d optimisation convexe. Il est largement utilisé dans l analyse matricielle et l optimisation des valeurs propres. Le conjugué est également couramment utilisé en thermodynamique et dans la théorie des équa- tions di¤érentielles non linéaires du premier ordre, par ex. pour résoudre une classe d équations de Hamilton-Jacobi avec des formules explicites [6]. En outre, la fonction dite log-exp est la fonction entropique bien connue de Shannon [2], largement utilisée dans le domaine des sciences de l infor- mation et dans de nombreux domaines allant de l amélioration de l image à l économie et à la de la mécanique statistique à la physique nucléaire [6]. Ce mémoire est divisé en trois chapitres : Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions très importantes de l analyse convexe : ensembles convexes, fonctions convexes, enveloppe supérieure, semi continuité inférieure et sous-di¤érentiabilité. Dans le second chapitre est consacré à l étude de transformation de Legendre des fonctions convexes et démontrons ses propriétés principales, et nous donnons plusieurs exemples a n d illustrer les propriétés essentielles de cette transformation. Nous étudions la biconjugai- son de Legendre, lien entre de transformée de Legendre et sous-di¤érentielles et l interprétation géométrique de cette transformation. À la n de ce chapitre nous donnons quelques règles pour calculer la transformée de Legendre d une fonction. En n, dans le dernier chapitre on appliquant la transformation de Legendre en dimension in nie (dualité de Fenchel).