Some contributions to the problems of stochastic control of di¤usions with jumps

Abstract

Cette thèse étudie un contrôle optimal des systèmes gouvernés par des équations différentielles stochastiques ( EDSs), avec des processus de saut, où la variable de contrôle apparaisse dans le drift et le terme de saut. On étude les problèmes relaxés pour lesquels les contrôles admissibles sont des processus à valeurs mesures et la variable d'état est gouverné par une EDS conduite par un processus dont ces valeurs sont des mesures de comptage, ce qu'on appelle mesure de Poisson relaxé de telle sorte que le compensateur est une mesure produit. Sous certaines conditions sur les coefficients, on prouve que tous les processus de diffusion associés à un contrôle relaxé est une limite d'une suite des processus de diffusion associés à une suite des contrôles stricts. On montre que le problème de contrôle strict et le problème de contrôle relaxé ont la même fonction de valeur. L'existence d'un contrôle optimal relaxé est une conséquence de développement. En outre, on démontre un principe de maximum pour ce type de problème relaxé. Dans la deuxième étape, nous étudions un problème de contrôle optimal du même type de SDEs définis dans la première, mais la variable de contrôle comporte deux composants, le premier étant absolument continu et le second singulier. Notre objectif est d'établir un principe du maximum pour ce type de problème relaxé, en utilisant une forte perturbation sur la partie absolument continue du contrôle et une perturbation convexe sur le singulier. Les preuves sont basées sur le principe du maximum strict, le principe variationnel d'Ekeland et certaines propriétés de stabilité des trajectoires et des processus adjoints par rapport à la variable de contrôle.