Contrôle inconsistant et jeux différentiels stochastiques

Abstract

Cette thèse présente deux sujets de recherche indépendants, le premier étant décliné sous la forme de trois problèmes distincts. Ces différents sujets ont en commun d'appliquer des méthodes de contrôle stochastique à des problèmes qui sont inconsistants dans le sens où le principe d'optimalité de Bellman n'est pas satisfait. Dans une première partie, nous formulons un problème de contrôle stochastique inconsistant de type linéaire-quadratique (LQ). L'inconsistance découle de la présence, d'un terme quadratique de l'espérance conditionnelle de l'état ainsi que d'un terme dépendant de l'état initiale dans la fonction objective. En raison de l'inconsistance, nous considérons le problème dans un cadre théorique de jeu et nous cherchons les solutions d'équilibres de Nash. Nous dérivons une condition nécessaire et suffisante, pour les contrôles équilibres, sous la forme d'un principe du maximum, qui est également appliqué pour résoudre le problème de choix du portefeuille sous le critère moyenne-variance. Dans la seconde partie, nous étudions le problème de choix de stratégies investissement-réassurance optimales pour les assureurs sous le critère moyenne --variance. Tout comme dans la première partie, nous amenons le problème dans un cadre théorique de jeu et on s'intéresse aux stratégies d'équilibres correspondants. En particulier, les assureurs sont autorisés à acheter de la réassurance proportionnelle, d'acquérir de nouvelles entreprises et d'investir dans un marché financier, où le surplus des assureurs est supposé suivre un modèle avec sauts et le marché financier se compose d'un actif sans risque et d'une multitude d'actifs risqués dont les processus du prix sont modélisés par des processus de Lévy. En résolvant un système stochastique nous obtenons la stratégie d'équilibre entre toutes les stratégies en boucle ouverte. Dans la troisième partie, nous étudions le problème de gestion de portefeuille de Merton dans le cadre de l'escompte non-exponentielle. Cela donne lieu à l'inconsistance des choix optimaux du décideur. Nous caractérisons les stratégies d'équilibres de Nash et nous obtenons des solutions explicites dans le cas de l'utilité logarithmique, l'utilité puissance, et l'utilité exponentielle. Enfin, dans la quatrième partie, on s'intéresse aux modèles de contrôle stochastiques de type à champ moyen où la variable de contrôle comporte deux composantes, la première étant absolument continue et la seconde est un processus d'impulsion par morceaux. En utilisant le principe variationnel de Ekeland ainsi que certains résultats de stabilité sur le processus d'état et les processus adjoints, par rapport à la variable de contrôle, on dérive des conditions nécessaires pour les contrôle près-optimaux (Near-optimal). Dans un second temps, nous montrons que les conditions nécessaires sont en fait suffisantes pour les contrôles près-optimaux si quelques conditions de concavité sont satisfaites.