Sur certains aspects des équations différentielles stochastiques rétrogrades et leur contrôle optimal

Abstract

Dans ce travail nous nous sommes intéressés au contrôle optimal des équations différentielles stochstiques rétrogrades. Nous présentons dans la première partie, l'existence des contrôles optimaux stricts pour des équations différentielles stochastiques rétrogrades linéaires. On suppose ici, que l'ensemble des contrôles est convexe et compact. Notre démonstration est basée sur la convergence forte de l'EDSR linéaire dans L² et le théorème de Mazur. Un deuxième résultat essentiel dans cette partie, est d'établir les conditions nécessaires et suffisantes d'optimalité satisfaites par le contrôle optimal strict. Dans la deuxième partie, notre intérêt va en particulier vers les questions d'existence de contrôle optimal relaxé et l'existence de contrôle optimal strict pour les EDSPRs. La preuve de l'existence de contrôle optimal relaxé est basée sur des arguments de tension et le théorème de représentation de Skorokhod sur l'epace D (des processus càdlàg), muni par la S-topologie de Jakubowski. On montre aussi que si la condition de convexité de Roxin est satisfaite, le contrôle optimal relaxé est en fait strict. Dans la troisième partie, nous introduisons un problème du contrôle stochastique pour des systèmes gouvernés par des équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades non-linéaires (EDDSRs).