Estimation des paramètres d’asymétrie et d'aplatissement pour les lois stables

Abstract

Dans les années 60, les travaux de Mandelbrot sur les fluctuations boursières montrent que le modèle gaussien ne convenait pas pour décrire les rendements d’actifs. Mandelbrot (1993) puis Fama (1965) proposèrent alors la distribution Lévy-stable, introduite par Paul Lévy (Lévy, 1925) et dont les propriétés sont très proches de celles des distributions empiriques à queues lourdes, comme alternative pour modéliser les séries financières. Ce choix est justifié par au moins deux bonnes raisons, la première est le théorème central limite généralisé qui dit que les lois stables sont les seules distributions limites possibles pour des sommes convenablement normalisées et centrées, de variables aléatoires (v.a.) indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d.) et la deuxième est le fait que les distributions stables peuvent être dissymétriques et permettent des queues épaisses de telle sorte qu’elles ajustent les distributions empiriques beaucoup mieux que ne le font les distributions gaussiennes. Donc, les domaines d’utilisation de la loi stable sont ceux dont les données présentent une très grande variabilité tels que la finance, l’économie, les télécommunications,… Il se trouve que certaines caractéristiques de cette classe de distributions tels que les paramètres de forme et d’aplatissement ne être calculés faute parfois de la non existence de la moyenne et du moment d’ordre deux. Pour résoudre ce problème nous utiliserons la notion du L-moments tronques introduite récemment par Elamir et Seheults (2003).