Etude d un système d épidémie SIR fractionnaire

Abstract

Le calcul fractionnaire est une théorie des intégrales et des dérivées d ordre arbitraire réel ou même complexe. C est une généralisation du calcul classique et par consé- quent, conserve de nombreuses propriétés de base. La dérivation fractionnaire fournit plusieurs outils potentiellement utiles pour la résolution des équations intégrales. Elle s introduit aussi naturellement dans la modélisation mécanique des matériaux qui conservent lamémoire des transformations passées.D où l intérêt particulier porté sur le calcul et l analyse fractionnaire pendent ces dernières décennies. L histoire de la dérivée d ordre non entier s étale de la n du 17 eme siècle jusqu à nos jours. les spécialistes s accrdent pour faire remonter son début à la n de l année (1695) quand L Hospital a soulevé une question à Leibniz en s interrogeant sur la signification dedny dxn lorsque n = 1 2 Leibniz, dans sa réponse voulut engager une ré exion sur une possible théorie de la dérivation non entière, et à écrit à L Hospital : "... cela conduirait à un paradoxe à partir duquel,un jour, on aura tirer des conséquences utiles". Il a fallu attendre les années (1990) pour voir apparaître les premières "conséquences utiles". la première tentative sérieuse de donner une dé nition logique pour la dérivée fractionnaire est dû à Liouville qui a publié neuf documents dans ce sujet entre (1832) et (1837). Indépendamment, Riemann a proposé une approche qui s est avérée essentiellement celle de Liouville, et c est depuis qu elle porte le non "Approche de Riemann-Liouville". Plus tard, d autres théories on fait leurs apparition comme celle de Grunwald-Leitnikov, de Weyl et de Caputo.A cette époque il n y avait presque pas d appli- cations pratiques de cette théorie, et c est pour cette raison qu elle a été considéré comme une abstraite ne contenant que des manipulations mathématiques peu utiles. Le passage des formulations mathématiques pures à des applications, a commencé à voir le jour depuis les années (1990) ; où les équations di¤érentielles fractionnaires sont apparues dans plusieurs domaines tels que la physique, l ingénierie, la biologie,la mécanique................. Le comportement qualitatif des systèmes d équations di¤érentielles ordinaires décrivant les maladies est étudié depuis longtemps et constitue un problème important dans le monde réel. Le premier modèle qui peut être utilisé pour interpréter la maladie caractéristique des épidémies est un modèle SIR récupéré-infecté susceptible d être infecté, qui a été développé par Kermack et McKendrick.Plusieurs extensions de ce modèle ont été utilisées pour décrire des maladies dans la littérature. Récemment, des dérivés fractionnaires ont été utilisés pour généraliser des modèles décrivant une maladie épidémique, les systèmes d équations di¤éren- tielles à ordre fractionnel étant motivés,ils généralisent les résultats de la stabilité globale pour les modèles SIR pour un modèle fractionnaire. Ce travail est divisé en deux chapitres. Dans le premier chapitre, nous résumes la théorie essentielle de calcul fractionnaire (dérivée et intégration).Le deuxième est consacré à l étude de la stabilité globale d un modèle d épidémie SIR fractionnaire.