On the variational principle for a class of stochastic control for systems governed by stochastic differential equations of mean-field type with applications

Abstract

Cette thèse de doctorat s’inscrit dans le cadre de la théorie de contrôle optimal stochastique. Le thème central est l’optimisation stochastique a…n d’établir des conditions nécessaires d’un contrôle optimal sous forme du principe du maximum stochastique de type de Pontryagin. D’une part, et plus précisement, nous étudions des problèmes de contrôle stochastique optimal singulier partiellement observés de type mean-…eld (McKean-Vlasov) général avec des corrélations entre le système et l’observation Y (�) : Dans ce travail, la variable de contrôle (u (�) ; � (�)) a deux composantes, la première u (�) est absolument continue et la seconde � (�) est une variation bornée, non décroissante continue à droite avec limit à gauche (càdlàg). Le système stochastique étudié est gouverné par une équation di¤érentielle stochastique contrôlée de type Itô où les coe¢ cients de la dynamique dépendent du processus d’état ainsi que de sa loi de probabilité Pxu;�(t) et de la variable de contrôle continue u (�) ; dé…nit par : 8>>>>><>>>>>: dxu;� (t) = f(t; xu;� (t) ; Pxu;�(t); u (t))dt + �(t; xu;� (t) ; Pxu;�(t); u (t))dW (t) +g(t; xu;� (t) ; Pxv;�(t); v (t))dWf (t) + G(t)d�(t); xu;� (0) = x0; t 2 [0; T] : Nous supposons que le processus d’état xu;� (t) ne peut pas être observé directement, mais les contrôleurs peuvent observer un processus de bruit associé Y (�), régit par l’équation suivante : 8><>: dY (t) = h(t; xu;� (t) ; u (t))dt + dWf (t) Y (0) = 0; où Wf (t) est un processus stochastique dépendant du contrôle u(�), et Y (�) le processus d’observation. On de…nit FY t martingale �u(t) qui est une solution de l’equation suivante : 8><>: d�u(t) = �u(t)h (t; xu(t); u(t)) dY (t); �u(0) = 1: D’aprés le théorème de dérivation de Radon-Nikodym, cette martingale a permis de dé…nir une nouvelle probabilité notée Pu, qui dépend de u (�) et donnée par : dPu dP FY t = �u(t). La fonctionnelle de coût J(u(�); �(�)) peut s’écrire sous forme J(u(�); �(�)) = E �Z0T �u(t)l(t; xu;�(t); Pxu;�(t); u(t))dt + �u(T) (xu;�(T); Pxu;�(T )) + Z[0;T ] �u(t)M(t)d�(t)� : Par l’utilisation des techniques variationnelles convexes classiques, nous établissons un ensemble de conditions nécessaires de contrôle singulier optimal sous la forme du principe du maximum. Notre résultat principal est prouvé en appliquant le théorème de Girsanov et les dérivées par rapport à une mesure (ou la loi de probabilité) au sense de P. Lions. D’autre part, nous établissons des conditions nécessaires du second-ordre pour un contrôle stochastique mixed continu-singulier (u (�) ; � (�)), où le système est gouverné par des systèmes di¤érentiels stochastiques contrôlés non linéaires. Le principe du maximum ponctuel du second-ordre en termes de martingale par rapport à la variable de temps est prouvé. Le domaine de contrôle est supposé convexe. Notons que dans ce travail que les termes de dérivée et les termes de di¤usion des systèmes dépendent de la variable de contrôle continue u (�). Notre résultat est prouvé en utilisant des techniques variationnelles sous certaines conditions de convexité.