L'approche polynomiale et les techniques de décomposition dans le traitement des équations di¤érentielles aux dérivées partielles de la physique

Abstract

Ce manuscrit présente une étude sur les équations différentielles aux dérivées partielles, en utilisant des méthodes approximatives. Nous avons présenté les méthodes de décomposition: la méthode d'Adomian et la méthode de perturbation artificielle dans le but de séparer le terme non linéaire dans l'équation d'évolution spécifique. Ces deux méthodes sont appliquées au deux équations non linéaire, l'équation cubique de Schrödinger (CNLS) et l'équation complexe de Korteweg-de Vries modifiée respectivement. Nous avons prouvés la puissance de la méthode d'Adomian en trouvant les solutions approximatives et on a constaté que les résultats numériques sont en bon accord avec les solutions exactes. Pour la deuxième méthode de décomposition qui permette d'obtenir les termes de correction ordre-par-ordre de la solution approximée du problème original, dont le nombre de termes utilisés dans la série, la solution suggérée peut d'une manière satisfaisante reproduire les fonctions originales. La précision maximale de la solution approximative peut être obtenue après un nombre restreint de termes en utilisant la transformé de Fourier . Enfin, Nous avons appliqué un nouveau développement basé sur la méthode de la variable fonctionnelle pour trouver les solutions exactes pour une famille d'équations d'ondes non-linéaires. En appliquant cette méthode, nous avons obtenu des solutions exactes des ondes de déplacement pour trois modèles dans la physique mathématique notamment, l'équation de KdV, forme généralisée du système de Boussinesq, et l'équation d'onde longue régularisée (RLW). Basant sur les résultats de ces systèmes typiques, nous avons également analysé l'effet de l'exposant négatif sur les solutions obtenues. Des structures d'ordre supérieur est obtenue facilement et délicatement. Nous avons montré que cette méthode est un outil simple, directe et efficace pour trouver les structures exactes des solutions à une variété d'équations d'ondes non-linéaires à coefficients constants et variables.